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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 111

Um modelo de foguete é lançado do ponto A com uma velocidade inicial v0 de 75 m/s. Se o paraquedas de descida do foguete não se abre e o foguete cai a 120 m de A, determine (a) o ângulo α que v0 forma com a vertical, (b) a altura máxima acima do ponto A, (c) a duração do voo.

Passo 1

Defina a origem no Ponto A.

x 0 = 0 ,             y 0 = 0

Movimento horizontal:

x = v 0 t sin ⁡ α           sin ⁡ α = x v 0 t

Movimento vertical:

y = v 0 t cos ⁡ α - 1 2 g t 2

cos ⁡ α = 1 v 0 t y + 1 2 g t 2

sin 2   α + cos 2   α = 1 v 0 t 2 y + 1 2 g t 2 2 = 1

x 2 + y 2 + g y t 2 + 1 4 g 2 t 4 = v 0 2 t 2

1 4 g 2 t 4 - v 0 2 - g y t 2 + x 2 + y 2 = 0

No ponto B,

x 2 + y 2 = 400   ft ,             x = 400 cos ⁡ 30 °   ft

y = - 400 sin ⁡ 30 ° = - 200   ft

1 4 32.2 2 t 4 - 250 2 - 32.2 - 200 t 2 + 400 2 = 0

259.21   t 4 - 68940   t 2 + 160000 = 0

t 2 = 263.62   s 2             e             2.34147   s 2

t = 16.2364   s             e             1.53019   s

Restrições em α :

0 ≤ α ≤ 120 °

tan ⁡ α = x y + 1 2 g t 2 = 400 cos ⁡ 30 ° - 200 + 16.1 16.2364 2 = 0.085654

α = 4.8957 °

e

400 cos ⁡ 30 ° - 200 + 16.1 1.53019 2 = - 2.13435

α = 115.105 °

Use α = 4,8957 correspondendo à trajetória mais íngreme possível.

Passo 2

  1. Ângulo α .

    2. Passo 3

  2. Altura máxima.

    3. v y = 0             em             y = y max

    v y = v 0 cos ⁡ α - g t = 0

    t = v 0 cos ⁡ α g

    y max = v 0 t cos ⁡ α - 1 2 g t 2 = v 0 2   cos 2 α 2 g

    = 250 2   cos 2   4.8957 2 32.2

    Passo 4

  3. Duração do vôo.

(hora de chegar a B)

Resposta

a)   α = 4.8957 °

b)   y max = 963   ft

c )   t = 16.24   s

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