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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 72

Uma mola cilíndrica é composta por um anel de borracha preso a um anel e eixo rígidos. Se o anel for mantido fixo e um torque T for aplicado ao eixo rígido, determine o ângulo de torção do eixo. O módulo de cisalhamento da borracha é G . Dica: Como mostrado na figura, a deformação do elemento no raio r pode ser determinada por r d θ = d r γ . Use essa expressão juntamente com τ = T / ( 2 π 2 h )   do Problema 5.28 para obter o resultado.

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

O problema pede que determinemos o ângulo de torção do eixo, θ . Vamos começar a resolvê-lo fazendo algumas relações.

γ d r = r d θ

Então:

d θ = γ d r r

Como as tensões no material permanecem abaixo dos limites de proporcionalidade e elasticidade (Lei de Hooke), então:

γ = τ G

Substituindo, temos:

d θ = γ d r r = τ d r G r

Passo 2

O enunciado nos fornece a expressão da tensão de cisalhamento:

τ = T 2 π r 2 h

Substituindo τ na equação de d θ , temos:

d θ = τ d r G r = T d r 2 π r 3 h G

Passo 3

Agora é só integrar de r i a r 0 e descobriremos o ângulo de torção!

θ = ∫ r i r 0 T d r 2 π r 3 h G

θ = T 2 π h G ∫ r i r 0 d r r 3

θ = T 2 π h G ∫ r i r 0 r - 3 d r

Aplicando a regra da potência:

θ = T 2 π h G r - 3 + 1 - 3 + 1 r i r 0

θ = T 2 π h G r - 2 - 2 r i r 0

θ = T 2 π h G - 1 2 r 2 r i r 0

θ = T 2 π h G - 1 2 r 2 + 1 2 r 2

E simplificando, temos o nosso resultado:

θ = T 4 π h G 1 r i 2 - 1 r 0 2

Resposta

θ = T 4 π h G 1 r i 2 - 1 r 0 2

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