Enunciado

Se o motor M exerce uma forca F = 10 t 2 + 100 N sobre o cabo, onde t é dado em segundos, determine a velocidade da caixa de 25   k g quando t = 4   s . Os coeficientes de atrito estático e cinético entre a caixa e o plano são μ s = 0,3   e   μ k = 0,25 , respectivamente. A caixa está inicialmente em repolso.

Passo 1

A primeira etapa da solução do problema é sabermos se a força F é suficiente para mover a caixa, visto que, se esta força for menor que a força de atrito estático, f a t s , a caixa não se moverá. Então, pelo diagrama de corpo livre, temos:

Aplicando a Segunda Lei de Newton na direção y ,

∑ F y = m a y   ∴     N - P = 0

N - P = 0   ∴ N = P

N = m g = 25 × 9,81 = 245,25 N

Por definição,

f a t s ≤   μ s N = 0,3 × 245,25 = 73,575 N

Comparando com o valor de F ( 4 ) ,

F 4 = 10 × 4 2 + 100 = 160 + 100 = 260

Logo, há movimento, pois a força de atrito estática não consegue ser igual à F .

Passo 2

Agora que sabemos que F provocará um movimento na caixa, devemos aplicar a segunda lei de Newton na direção onde há movimento, e então obter uma equação para a aceleração, a ,   em função do tempo, t :

∑ F x = m a x  

F - f a t k = m a x

  10 t 2 + 100 - 0,25 245,25 = 25 a

a =   10 t 2 + 100 - 0,25 245,25 25

a = 0,4 t 2 + 1,5475

Passo 3

Sabendo que,

a =   d v d t

0,4 t 2 + 1,5475 d t = d v

Agora é só integrar,

∫ 0 v d v = ∫ 0 t 0,4 t 2 + 1,5475 d t

v v 0 = 0,4 t 3 3 + 1,5475 t t 0

v = 0,4 t 3 3 + 1,5475 t

Passo 4

Resolvendo para 4 segundos,

v 4 = 0,4 4 3 3 + 1,5475 × 4

v 4 = 14,7233 m/s

Resposta

A velocidade no instante 4 segundos é 14,7233 m/s.

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