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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 166

O movimento bidimensional de uma partícula e definido pelas relações r = 2a cos θ e θ = bt2/2, onde a e b são constantes. Determine (a) as intensidades da velocidade e a aceleração em qualquer instante, (b) o raio de curvatura da trajetória. O que se pode concluir em relação a trajetória da partícula?

Passo 1

E ai galerinha tudo certo? O enunciado pede que a gente Determine (a) as intensidades da velocidade e a aceleração em qualquer instante, (b) o raio de curvatura da trajetória. O que se pode concluir em relação a trajetória da partícula, partiu?

  1. Nós temos

    2. r = 2 a cos ⁡ θ             θ = 1 2 b t 2

    Então

    r ˙ = - 2 a θ sin ⁡ θ             θ ˙ = b t

    e

    r ¨ = - 2 a θ ¨ sin ⁡ θ + θ ˙ 2 + cos ⁡ θ             θ ¨ = b

    Substituindo por θ ˙ e θ ¨

    r ˙ = - 2 a b t sin ⁡ θ

    r ¨ = - 2 a b sin ⁡ θ + b t 2 cos ⁡ θ

    Agora

    v r = r ˙ = - 2 a b t sin ⁡ θ             v θ = r θ ˙ = 2 a b t cos ⁡ θ

    Então

    v = v r 2 + v θ 2 = 2 a b t [ ( - sin ⁡ θ ) 2 + ( cos ⁡ θ ) 2 ] 1 / 2

    Além disso

    a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = - 2 a b sin ⁡ θ + b t 2 cos ⁡ θ - 2 a b 2 t 2 cos ⁡ θ = - 2 a b sin ⁡ θ + 2 b t 2 cos ⁡ θ

    e

    a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 2 a b cos ⁡ θ - 4 a b 2 t 2 sin ⁡ θ = - 2 a b cos ⁡ θ - 2 b t 2 sin ⁡ θ

    Então

    a = a r 2 + a B 2 = 2 a b [ ( sin ⁡ θ + 2 b t 2 cos ⁡ θ ) 2 + ( cos ⁡ θ - 2 b t 2 sin ⁡ θ ) 2 ] 1 / 2

    Passo 2

  2. Agora

a 2 = a t 2 + a n 2 = d v d t 2 + v 2 ρ 2

Então

d v d t = d d t 2 a b t = 2 a b

de modo a

2 a b 1 + 4 b 2 t 4 2 = ( 2 a b ) 2 + a n 2

ou

4 a 2 b 2 1 + 4 b 2 t 4 = 4 a 2 b 2 + a n 2

ou

a n = 4 a b 2 t 2

Finalmente

a n = v 2 ρ ⇒ ρ = ( 2 a b t ) 2 4 a b 2 t 2

Resposta

a)   v = 2 a b t

a = 2 a b 1 + 4 b 2 t 4

b)   Como o raio de curvatura é uma constante, o caminho é um círculo de raio  a .

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