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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 176

O movimento do pino P é restringido pela fenda curva da lemniscata em O B e pela fenda do braço O A . Se O A gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular de θ ˙ = 3 t 3 / 2   r a d / s , onde t é dado em segundos, determine a intensidade da velocidade e aceleração do pino P em θ = 30 ° . Quando t = 0 , θ = 0 ° .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede as intensidades da velocidade e aceleração do pino P no instante em que θ = 30 ° .

As intensidades são dadas por:

v = v r 2 + v θ 2

a = a r 2 + a θ 2

Nos é dada a equação da posição:

r 2 = 4 cos ⁡ 2 θ

Vamos derivar essa equação dos dois lados:

d d t ( r 2 ) = d d t ( 4 cos ⁡ 2 θ )

2 r d r d t = - 4 2 sin ⁡ 2 θ d θ d t

2 r r ˙ = - 8 sin ⁡ 2 θ θ ˙

Logo:

r ˙ = - 4 sin ⁡ 2 θ θ ˙ r

Agora temos que encontrar a equação para a aceleração:

d d t ( 2 r r ˙ ) = d d t ( - 8 sin ⁡ 2 θ θ ˙ )

Note que agora temos que aplicar a regra do produto na derivação pois temos r multiplicando r ˙ , e cos ⁡ 2 θ multiplicando θ ˙ .

A regra do produto é aplicada quando é necessário fazer a derivada do produto de equações.

Logo:

2 1 d r d t r ˙ + r d r ˙ d t = - 8 2 cos ⁡ 2 θ d θ d t θ ˙ + sin ⁡ 2 θ d θ ˙ d t

2 r ˙ r ˙ + r r ¨ = - 8 2 cos ⁡ 2 θ θ ˙ θ ˙ + sin ⁡ 2 θ θ ¨

r ˙ 2 + r r ¨ = - 8 cos ⁡ 2 θ θ ˙ 2 - 4 sin ⁡ 2 θ θ ¨

Queremos a aceleração dada por r ¨ , logo:

r ¨ = - 4 sin ⁡ 2 θ θ ¨ - 8 cos ⁡ 2 θ θ ˙ 2 - r ˙ 2 r

Passo 2

Bom galera, nos é dito que   θ ˙ = 3 t 3 / 2   r a d / s , então vamos fazer o seguinte:

d θ d t = θ ˙ = 3 t 3 / 2

d θ = 3 t 3 / 2 d t

∫ 0 θ d θ = ∫ 0 t 3 t 3 / 2 d t

Resolvendo, temos:

θ = 3 t 3 / 2 + 1 3 2 + 1

θ = 3 t 5 / 2 5 / 2

θ = 6 5 t 5 / 2

Logo, quando θ = 30 ° = π 6 , temos que:

π 6 = 6 5 t 5 / 2

t 5 2 = 5 π 36

t = 5 π 36 2 5

t = 0,7177   s

Também podemos encontrar a velocidade angular:

θ ˙ = 3 ( 0,7177 ) 3 / 2

θ ˙ = 1,824   r a d / s

E a aceleração angular:

θ ¨ = d θ ˙ d t

θ ¨ = 3 3 2 t 3 / 2 - 1

θ ¨ = 9 2 t 1 / 2

θ ¨ = 9 2 ( 0,7177 ) 1 / 2

θ ¨ = 3,812   r a d / s 2

Passo 3

Agora que já descobrimos as equações que vamos precisar, é só aplicar os dados que encontramos, ou seja, quando θ = 30 ° , θ ˙ = 1,824   r a d / s e θ ¨ = 3,812   r a d / s 2 :

r θ = 30 ° = 4 cos ⁡ 60 °

r θ = 30 ° = 2   m

r ˙ θ = 30 ° = - 4 sin ⁡ 60 ° ( 1,824 ) 2

r ˙ θ = 30 ° = - 4,468   m / s

r ¨ θ = 30 ° = - 4 sin ⁡ 60 ° 3,812 - 8 cos ⁡ 60 ° 1,824 2 - - 4,468 2 2

r ¨ θ = 30 ° = - 32,86   m / s 2

Agora temos todos os dados necessários para resolver nosso problema.

Os valores de v r e v θ são dados por:

v r = r ˙

v θ = r θ ˙

Logo:

v r = - 4,468   m / s

E:

v θ = 2 1,824

v θ = 2,579   m / s

Os valores de a r e a θ são dados por:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo:

a r = - 32,86 - 2 1,824 2

a r = - 37,57   m / s 2

E:

a θ = 2 3,812 + 2 ( - 4,468 ) ( 1,824 )

a θ = - 10,91   m / s 2

Passo 4

As magnitudes solicitadas nas questões valem:

v = v r 2 + v θ 2

v = - 4,468   2 + 2,579 2

v = 5,16   m / s

E:

a = a r 2 + a θ 2

a = - 37,57 2 + - 10,91 2

a = 39,1   m / s 2

DICA IMPORTANTE!!!

Questões desse tipo, que envolvem derivada de vários termos e regra do produto, é importante ter bastante atenção, pois quando erramos um termo, a questão vai toda por água abaixo. Portanto tenha calma e resolva passo a passo.

Resposta

v = 5,16   m / s

a = 39,1   m / s 2

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