O movimento da porta de garagem uniforme de 40 kg é guiado em suas extremidades pelo trilho. Se a porta é liberada do repouso em θ = 0°, determine sua velocidade angular no instante θ = 30°. A mola está originalmente deformada 0,3 m quando a porta é mantida aberta, θ = 0°. Suponha que a porta possa ser tratada como uma placa fina, e que há um sistema de mola e polia em cada um dos lados da porta.

Passo 1

Iremos considerar a aceleração da gravidade g = 9,81   m / s 2

Vamos considerar também s A como sendo o comprimento do segmento AC, avaliado a partir do ponto C, e ainda s s como o comprimento da parte superior do trilho, que vai da polia C até a extremidade da outra polia. Como temos ainda que determinar a velocidade quando θ = 30°, precisaremos determinar a altura da barra AB nessa posição, que é dada por:

h = 8 s e n 30 ° = 4   m

Essa é a variação total s A . Precisamos ainda encontrar a velocidade linear do centro de massa do segmento AB, que é dado por:

v G = ω r G = ω 1,2

Passo 2

O comprimento total do cabo é dado por:

l = s A + 2 s s

O termo 2 multiplicando s s se deve ao fato da geometria do problema, pois o cabo “vai e volta” nessa posição.

Sabemos também que o comprimento do cabo é sempre constante, logo, o que tivermos de variação em um lado, teremos no outro, só que no sentido oposto, logo:

∆ s A = - 2 ∆ s s

Sabendo que a variação total em A é igual a metade da altura total, conforme visto no passo 1:

1,2 = - 2 ∆ s s

∆ s s = - 0,6   m

Passo 3

Com isso, podemos agora aplicar a equação da conservação da energia mecânica para encontrar velocidade angular da mola no instante θ = 30° ilustrado na figura a seguir:

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

0 + 2 1 2 150 0,3 2 = 1 2 40 1,2 ω 2 + 1 2 1 12 40 2,4 2 ω 2 - 40 9,81 1,2 s e n 30 ° + 2 1 2 150 0,6 + 0,3 2

13,5 = 28,8 ω 2 + 9,6 ω 2 - 235,44 + 121,5

ω = 1,822   r a d / s

Resposta

ω = 1,822   r a d / s

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