Quando o êmbolo de 5   k g é liberado a partir do repouso em sua guia vertical com θ = 0 , cada mola de rigidez k = 3,5   k N / m está sem compressão. As conexões são livres para deslizar através de seus cursores articulados e comprimir suas molas. Calcule a velocidade v do êmbolo quando a posição θ = 30 ° é ultrapassada.

Passo 1

Pela conservação da energia mecânica, temos:

Δ T + Δ V g + Δ V e = 0

Como a energia cinética inicial é nula, temos:

Δ T = 1 2 m v 2 = 1 2 5 v 2

Δ T = 2,5 v 2

Passo 2

Já a variação de energia potencial gravitacional deve ser:

Δ V g = m g Δ h

Note que Δ h deve ser negativo, pois a altura final é menor do que a inicial. Então, olhando para a figura, podemos escrever:

- Δ h 0,150 = t g   θ = t g   30 °

Δ h = - 0,150   t g   30 ° = - 0,0866   m

Então:

Δ V g = 5 9,81 - 0,0866

Δ V g = - 4,248   J

Passo 3

Por último, a variação da energia potencial elástica é dada por:

Δ V e = 2 1 2 k x 2 = k x 2

pois há duas molas.

Olhando para a figura, podemos calcular a compressão x de cada mola:

x = 0,150 cos ⁡ 30 ° - 0,150 = 0,0232   m

Então:

Δ V e = 3,5 ( 10 3 ) 0,0232 2

Δ V e = 1,884   J

Passo 4

Agora que temos cada variação de energia, podemos enfim determinar a velocidade v do êmbolo:

Δ T + Δ V g + Δ V e = 0

2,5 v 2 - 4,248 + 1,884 = 0

v = 0,972   m / s

Resposta

v = 0,972   m / s

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