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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 179

O movimento tridimensional de uma partícula é definido por suas coordenadas cilíndricas (veja a Fig. 11.26) R = A/(t + 1), θ = Bt e z = Ct/(t + 1). Determine as intensidades da velocidade e da aceleração quando (a) t = 0, (b) t = ∞ .

Passo 1

E ai galera tudo certo? O enunciado que a gente determine as intensidades da velocidade e da aceleração quando (a) t = 0, (b) t = ∞ .

Nós temos

R = A t + 1 ,             θ = B t ,             z = C t t + 1

Então

R ˙ = - A t + 1 2 ,             θ ˙ = B             z ˙ = C t + 1 - t t + 1 2

= C t + 1 2

e

R ¨ = 2 A t + 1 3             θ ¨ = 0             z ¨ = z C t + 1 3

Agora

v 2 = v R 2 + v θ 2 + v z 2 = R ˙ 2 + R θ ˙ 2 + z ˙ 2

a 2 = a R 2 + a θ 2 + a z 2 = R ¨ - R θ ˙ 2 2 + R θ ¨ 0 + 2 R ˙ θ ˙ 2 + z ¨ 2

Passo 2

  1. Em t = 0

    2. R = A

    R = - A             θ ˙ = B             z ˙ = C

    R ¨ = 2 A             z ¨ = - 2 C

    Então

    v 2 = - A 2 + A B 2 + C 2

    e

    a 2 = 2 A - A B 2 2 + z - A B 2 + - 2 C 2 = 4 A 2 1 - 1 2 B 2 2 + B 2 + C 2 A 2 = 4 1 + 1 4 B 4 A 2 + C 2

    Passo 3

  2. Como t → ∞ :

R = 0

R ˙ = 0             θ ˙ = B             z ˙ = 0

R ¨ = 0             z ¨ = 0

Resposta

a )   v = 1 + B 2 A 2 + C 2

a = 2 1 + 1 4 B 4 A 2 + C 2

b )   v = 0

a = 0

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