Enunciado

A partícula P se desloca para baixo na trajetória espiral que está enrolada ao redor da superfície de um cone circular reto com raio de base b e altura h . O ângulo γ entre a tangente à curva em qualquer ponto e uma tangente horizontal ao cone neste ponto é constante. Além disso, o movimento da partícula é controlado de modo que θ ˙ é constante. Determine a expressão para a aceleração radial a r da partícula para qualquer valor de θ .

Passo 1

Olhando para um determinado ponto da trajetória da partícula, traçamos uma distância infinitesimal d s na direção da trajetória (ao longo da curva espiral) e a distância infinitesimal correspondente d l na direção da geratriz do cone, olha só:

Pela figura, obtemos duas equações relacionando essas distâncias:

d l = r   d θ   t g   γ

d r = - d l   s e n   β

Ou seja,

d r = - r   d θ   t g   γ   s e n   β

1 r   d r = - t g   γ   s e n   β   d θ

Passo 2

Show! Agora vamos integrar cada lado da equação anterior, lembrando que quando θ = 0 , a partícula está no topo do cone, e aí r = b :

∫ b r 1 r   d r = - t g   γ   s e n   β ∫ 0 θ d θ

ln ⁡ r - ln ⁡ b = - t g   γ   s e n   β   θ - 0

ln ⁡ r b = - θ   t g   γ   s e n   β

r b = e - θ   t g   γ   s e n   β

r = b e - θ   t g   γ   s e n   β

r = b e - k θ

onde k = t g   γ   s e n   β .

Veja também que β pode ser calculado por meio das medidas da base e da altura do cone:

t g   β = b h

β = t g - 1 b h

Passo 3

Agora, lembre-se de que a aceleração radial a r é dada pela fórmula:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

Já sabemos que:

r = b e - k θ

Para encontrar r ¨ , podemos derivar essa equação duas vezes, certo?

r ˙ = b e - k θ - k θ ˙

r ˙ = - b k θ ˙ e - k θ

r ¨ = - b k θ ¨ - b k θ ˙ e - k θ ( - k ) θ ˙

Na segunda derivação, utilizamos a regra do produto. E repare que θ ¨ = 0 , pois o enunciado diz que θ ˙ é constante. Então:

r ¨ = b k 2 θ ˙ 2 e - k θ

Logo,

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = b k 2 θ ˙ 2 e - k θ - b e - k θ θ ˙ 2

a r = b θ ˙ 2 e - k θ k 2 - 1

a r = b θ ˙ 2 t g 2 γ   s e n 2 β - 1 e - θ   t g   γ   s e n   β

Resposta

a r = b θ ˙ 2 t g 2 γ   s e n 2 β - 1 e - θ   t g   γ   s e n   β

com β = t g - 1 b h

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