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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 122

Uma partícula de 2 kg está sujeita a uma força expressa em newtons, F → = 8 - 6 t i → + 4 - t 2 j → + 4 + t k → . Sabendo que a velocidade da partícula é v → = 150   m / s i → + 100   m / s j → - 250   m / s k → em t = 0, determine (a) o tempo em que a velocidade é paralela ao plano yz, (b) a velocidade correspondente da partícula.

Passo 1

Bom, neste problema a força é descrita em função do tempo, e na forma vetorial. Nesse caso, vamos utilizar a equação do princípio do impulso e da quantidade de movimento linear para a partícula da seguinte forma:

m v → 0 + ∫ 0 t F → ( t ) d t = m v →

A partir dos dados de força e velocidade inicial, vamos obter uma equação para a velocidade final em função do tempo. Primeiro, vamos resolver a integral:

∫ 0 t F → t d t = ∫ 0 t 8 - 6 t d t   i → +   ∫ 0 t 4 - t 2 d t   j → + ∫ 0 t 4 + t d t   k →

= 8 t - 3 t 2 i → + 4 t - 1 3 t 3 j → + 4 t + 1 2 t 2 k →

Passo 2

Agora vamos substituir essa integral na equação do princípio de impulso e quantidade de movimento linear. Temos que v → 0 =   150 i → + 100 j → - 250 k → e m = 2   k g , logo:

2 150 i → + 100 j → - 250 k → + 8 t - 3 t 2 i → + 4 t - 1 3 t 3 j → + 4 t + 1 2 t 2 k → = 2   v →       ( ÷ 2 )

150 i → + 100 j → - 250 k → + 4 t - 3 2 t 2 i → + 2 t - 1 6 t 3 j → + 2 t + 1 4 t 2 k → = v →

v → = 150 + 4 t - 3 2 t 2 i → + 100 + 2 t - 1 6 t 3 j → + 2 t + 1 4 t 2 - 250 k →

Esta é a equação para a velocidade final em função de t.

Passo 3

Para que velocidade final seja paralela ao plano yz, a componente x da velocidade deve ser igual a zero. Assim, o tempo final para que essa condição seja atendida será:

150 + 4 t - 3 2 t 2 = 0 → t = 11,42   s

E a velocidade final será:

  v → =   100 + 2 ⋅ 11,42 - 1 6 11,42 3 j → + 2 ( 11,42 ) + 1 4 ( 11,42 ) 2 - 250 k →

v → =   - 125   m / s j →   - 194,5   m / s k →  

Resposta

  1. t = 11,42   s
  2. v → =   - 125   m / s j →   - 194,5   m / s k →
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