Uma partícula se move ao longo da espiral mostrada na figura. Determine a intensidade da velocidade da partícula em termos de b, θ , θ ˙ .

Passo 1

Partiu mais uma questão de resmat, tudo bem? O enunciado pede que a gente determine a intensidade da velocidade da partícula em termos de b, θ , θ ˙ . Gurizada mas não se apavorem de véspera, é uma sequência de expressões envolvendo os ângulos para determinarmos que o exercício pede, partiu :D

Temos uma Espiral logarítmica então o raio é dado por:

r = e b θ

r ˙ = d r d t = b e b θ θ ˙

r ¨ = b e b θ θ ¨ + b 2 e b θ θ ˙ 2 = b e b θ θ ¨ + b θ ˙ 2

E a aceleração em função dos raios e angulo é dada por:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = b e b θ θ ¨ + b θ ˙ 2 - e b θ θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = e b θ θ ¨ + 2 b e b θ θ ˙ θ ˙

Passo 2

Como θ ˙ = ω = constante, θ ¨ = θ , escrevemos:

a r = b e b θ b ω 2 - e b θ ω 2 = e b θ b 2 - 1 ω 2

a θ = 2 b e b θ w 2

a = a r 2 + a θ 2 = e b θ   ω 2 b 2 - 1 2 + 2 b 2 = e b θ ω 2 b 4 - 2 b 2 + 1 + 4 b 2 = e b θ ω 2 b 4 + 2 b 2 + 1

= e b θ ω 2 b 2 + 1 2 = e b θ ω 2 b 2 + 1

Resposta

a = 1 + b 2 ω 2 e b θ

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