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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.4 - Ex. 62

Uma partícula que se move em um movimento curvilíneo tem coordenadas em milímetros que variam com o tempo t em segundos de acordo com x = 3 t 2 - 4 t e y = 4 t 2 - 1 3 t 3 . Determine os módulos da velocidade v e aceleração a e os ângulos que estes vetores fazem com o eixo x quando t = 2   s .

Passo 1

Galera, a gente precisa montar os vetores velocidade e aceleração, e pra isso, vamos derivar cada expressão de x e y primeiramente, olha só:

x = 3 t 2 - 4 t

v x = x ' = 6 t - 4

a x = v x ' = 6

y = 4 t 2 - 1 3 t 3

v y = y ' = 8 t - t 2

a y = v y ' = 8 - 2 t

Assim, podemos escrever os vetores:

v = v x   i + v y   j = 6 t - 4   i + 8 t - t 2   j   m m / s

a = a x   i + a y   j = 6   i + 8 - 2 t   j   m m / s 2

Passo 2

Show! Vamos agora calcular os módulos desses vetores, lembrando que:

v 2 = v x 2 + v y 2 = 6 t - 4 2 + 8 t - t 2 2

v 2 = 36 t 2 - 48 t + 16 + 64 t 2 - 16 t 3 + t 4

v = t 4 - 16 t 3 + 100 t 2 - 48 t + 16

Então, substituindo t = 2   s :

v = 208 ≈ 14,42   m m / s

Analogamente fazemos para a aceleração:

a 2 = a x 2 + a y 2 = 6 2 + 8 - 2 t 2

a 2 = 36 + 64 - 32 t + 4 t 2

a = 4 t 2 - 32 t + 100 = 2 t 2 - 8 t + 25

Para t = 2   s :

a = 7,21   m m / s 2

Passo 3

Beleza! Agora, para calcular os ângulos que cada vetor faz com o eixo x quando t = 2   s , basta lembrar que:

t g   θ v = v y v x                     e                     t g   θ a = a y a x

t g   θ v = 8 t - t 2 6 t - 4 = 16 - 4 12 - 4 = 12 8 = 1,5

θ v = t g - 1 1,5 ≈ 56,3 °

Agora fazemos os mesmos cálculos para achar θ a :

t g   θ a = 8 - 2 t 6 = 4 6 ≈ 0,667

θ a = t g - 1 0,667 ≈ 33,7 °

Resposta

v = 14,42   m m / s

a = 7,21   m m / s 2

θ v = 56,3 °

θ a = 33,7 °

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