Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.2 - Ex. 39
Uma partícula se movendo ao longo de uma linha reta desacelera de acordo com , onde é uma constante e é a velocidade. Se a sua velocidade inicial no instante , é e a sua velocidade no instante é , determine o tempo e a distância correspondente para que a velocidade da partícula seja reduzida para um décimo de seu valor inicial.
Passo 1
Vamos começar lembrando da definição da aceleração:
Substituindo com a expressão fornecida pelo enunciado:
E integrando dos dois lados:
Beleza, chegamos em uma expressão que relaciona tempo e velocidade.
Passo 2
Vamos tentar obter os parâmetros dessa expressão. Segundo o enunciado, e quando temos
Então o tempo necessário para que a velocidade da partícula seja reduzida a um décimo do valor inicial é:
Passo 3
Agora vamos fazer uma coisa muito parecida, mas para a distância ao invés do tempo. Voltando para a definição de aceleração:
Pela regra da cadeia podemos reescrever essa expressão:
E separando as variáveis temos:
Substituindo a expressão para a velocidade:
E supondo que a velocidade é sempre diferente de zero:
Integrando os dois lados da equação:
Passo 4
Beleza, agora se quisermos saber a distância percorrida para que a velocidade seja reduzida a um décimo do valor inicial:
E substiuindo os valores numéricos temos:
Resposta
O tempo decorrido é e a distância é .