Uma partícula se movendo ao longo de uma linha reta desacelera de acordo com a = - k v , onde k é uma constante e v é a velocidade. Se a sua velocidade inicial no instante t = 0 , é v 0 = 4m / s e a sua velocidade no instante t = 2s é v = 1m / s , determine o tempo T e a distância correspondente D para que a velocidade da partícula seja reduzida para um décimo de seu valor inicial.

O tempo decorrido é T = 3,32s e a distância é s = 5,19m .

Enunciado

Vamos começar lembrando da definição da aceleração:

Substituindo com a expressão fornecida pelo enunciado:

E integrando dos dois lados:

Beleza, chegamos em uma expressão que relaciona tempo e velocidade.

Vamos tentar obter os parâmetros dessa expressão. Segundo o enunciado, e quando temos

Então o tempo necessário para que a velocidade da partícula seja reduzida a um décimo do valor inicial é:

Agora vamos fazer uma coisa muito parecida, mas para a distância ao invés do tempo. Voltando para a definição de aceleração:

Pela regra da cadeia podemos reescrever essa expressão:

E separando as variáveis temos:

Substituindo a expressão para a velocidade:

E supondo que a velocidade é sempre diferente de zero:

Integrando os dois lados da equação:

Beleza, agora se quisermos saber a distância percorrida para que a velocidade seja reduzida a um décimo do valor inicial:

E substiuindo os valores numéricos temos:

O tempo decorrido é e a distância é .