Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta de maneira que a sua aceleração é a = 4 t 2 - 2   m / s 2 , onde t é dado em segundos. Quando t = 0 , a partícula está localizada 2 m à esquerda da origem, e quando t = 2   s , ela está 20 m à esquerda da origem. Determine a posição da partícula quando t = 4   s .

Passo 1

Estamos frente a um problema que pede posição! Mas o único que temos é a aceleração em função do tempo. O que fazer?

Bem, a gente lembra que a = d v d t , certo? Pois bem, não é verdade que v = d s d t ? Pois bem, isto nos leva a

a = d d t d s d t = d 2 s d t 2

Esta é uma relação entre a e s !

Agora, basta substituirmos a = 4 t 2 - 2 na equação acima e resolvermos para s em função de t .

Passo 2

Sabendo que a = 4 t 2 - 2 , temos

a = 4 t 2 - 2   = d 2 s d t 2

Integrando uma vez, resulta em

4 3 t 3 - 2 t + C 1   = d s s t

Integrando mais uma vez, temos

1 3 t 4 - t 2 + C 1 t + C 2   = s

Aqui, C 1 e C 2 são as constantes da integração. Elas devem ser determinadas a partir dos dados fornecidos no problema, isto é:

- s = - 2 para t = 0

- s = - 20 para t = 2 .

Substituindo estas duas condições na equação, obtemos o sisteminha:

0 + C 2   = - 2 1 3 2 4 - 2 2 + C 1 2 + C 2   = - 20

Resolvendo o sisteminha, tiramos C 2 = - 2 e C 1 = - 29 3 . Logo, a equação que tínhamos fica:

s = 1 3 t 4 - t 2 + - 29 3 t - 2  

E agora não tem mistério! A posição para t = 4   s é

s = 1 3 4 4 - 4 2 + - 29 3 4 - 2 = 86 3 = 28,7   m  

Resposta

s = 28,7   m  

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