Uma partícula parte do repouso e move-se ao longo de uma linha reta com uma aceleração a = 30 - 0,2 v   m / s 2 , onde v é dado em m/s. Determine o tempo quando a velocidade da partícula for v = 30   m / s .

Passo 1

Estamos frente a um problema com aceleração dada em função da velocidade! E estão nos pedindo funções do tempo! Ou seja, devemos encontrar alguma equação que relacione os três: Velocidade, tempo e a aceleração.

Para resolver, basta escrever a aceleração assim:

a = d v d t

Com base nesta equação, podemos determinar v t . Vamo nessa!

Passo 2

Para a = 30 - 0,2 v   m / s 2 , vamos reescrever a equação a = d v d t = 30 - 0,2 v assim:

d t = d v 30 - 0,2 v  

Agora vamos integrar a equação!

∫ 0 t d t = ∫ 0 t d v 30 - 0,2 v  

Dai,

t - 0 = ln ⁡ 30 - 0,2 v - ln ⁡ 30 - 0,2 v 0 - 0,2

Mas, note que v 0 = 0   m / s logo, temos

- 0,2 t = ln ⁡ 30 - 0,2 v 30

Ou seja, para v = 30   m / s , temos

t = 1 - 0,2 ln ⁡ 30 - 0,2 ⋅ 30 30 = 1,11   s

Resposta

t = 1 - 0,2 ln ⁡ 30 - 0,2 ⋅ 30 30 = 1,12   s

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