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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 77

Para a partícula do Problema 12.76 mostre (a) que a velocidade da partícula e a força central F são proporcionais à distância r da partícula ao centro de força O, (b) que o raio de curvatura do caminho é proporcional a r 3 .

Passo 1

E aí galera tudo beleza? Vamos a mais um exercício de resmat, partiu? uma vez que a partícula se move sob uma força central, h = constante

usando Eq 12.27

h = r 2 θ ˙ = h 0 = r 0 v 0               o u θ ˙ = r 0 v n r 2 = r 0 v 0 c o s ⁡ 2 θ r 0 2 = v 0 r 0 c o s ⁡ 2 θ

Passo 2

Diferenciando a expressão de r em relação ao tempo

r ˙ = d r d θ θ ˙ = d d θ r 0 c o s ⁡ 2 θ θ ˙ = r 0 s i n ⁡ 2 θ s i n ⁡ 2 θ ( c o s ⁡ 2 θ ) 3 / 2 θ ˙ = r 0 s i n ⁡ 2 θ ( c o s ⁡ 2 θ ) 3 / 2 v 0 r 0 c o s ⁡ 2 θ = v 0 s i n ⁡ 2 θ c o s ⁡ 2 θ

Diferenciando novamente

  r ¨ = d r d θ θ ˙ = d d θ v 0 sin ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ θ ˙ = v 0 2 cos 2 ⁡ 2 θ + sin 2 ⁡ 2 θ ( c o s ⁡ 2 θ ) 3 2 θ ˙ = v 0 2 r 0 2 cos 2 ⁡ 2 θ + sin 2 ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ

v r = r = v 0 s i n ⁡ 2 θ c o s ⁡ 2 θ = v 0 r r 0 s i n ⁡ 2 θ v θ = r θ ˙ = v 0 r r 0 c o s ⁡ 2 θ v = v r 2 + v θ 2 = v 0 r r 0 sin 2 ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ v = v 0 r r 0 a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = v 0 2 r 0 2 c o s 2 ⁡ 2 θ + s i n 2 ⁡ 2 θ c o s ⁡ 2 θ - r 0 c o s ⁡ 2 θ y 0 2 r 0 2 c o s 2 ⁡ 2 θ = v 0 2 c o s 2 ⁡ 2 θ + s i n 2 ⁡ 2 θ r 0 c o s ⁡ 2 θ r 0 c o s ⁡ 2 θ = v 0 2 r r 0 2 F r = m a r = m v 0 2 r r 0 2

Passo 3

Uma vez que a partícula se move sobre uma força central, a θ = 0

Magnitude da aceleração

a = a r 2 + a θ 2 = v 0 2 r r 0 2

Componente tangencial da aceleração:

a t = d v d t = d d t v 0 r r 0 = v 0 r 0 r ˙ = v 0 2 r r 0 2 s i n ⁡ 2 θ

Passo 4

Componente normal da aceleração

a t = a 2 - a t 2 = v 0 2 r r 0 2 1 - sin 2 ⁡ 2 θ = v 0 2 rcos ⁡ 2 θ r 0 2 m a s cos ⁡ 2 θ = r 0 r 2 c o n s e q u e n t e m e n t e :   a n = v 0 2 r

Passo 5

Determinando a aceleração temos que:

a n = v 2 ρ  

  ρ = v 2 a n = v 0 2 r 2 r 0 2 ⋅ r v 0 2 = r 3 r 0 2

Resposta

a )   F r   = m v 0 2 r r 0 2

b )   ρ = r 3 r 0 2

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