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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 26

Uma partícula é projetada para a direita a partir da posição x = 0 com uma velocidade inicial de 9   m / s . Se a aceleração da partícula é definida pela relação a = - 0,6 v 3 / 2 , onde a   e   v são expressas em m / s 2 e   m / s , respectivamente, determinar (a)a distância que a partícula ira percorrer se sua velocidade é 4   m / s , (b) o tempo quando v = 1   m / s , (c) o tempo necessari para a partícula percorrer 6 m .

Passo 1

Partiu determinarmos a distância que a partícula ira percorrer se sua velocidade é 4   m / s , o tempo quando v = 1   m / s , o tempo necessari para a partícula percorrer 6 m .

  1. Temos: v d v d x = a = - 0,6 v 3 / 2

    2. Quando x = 0 ,   v = 9 m / s : ∫ 9 v v - ( 3 / 2 ) d v = ∫ 0 x - 0,6 d x

    Ou 2   x   v 1 / 2 9 v = - 0,6 x

    Ou x = 1 0,3   x   ( 3 - v 1 / 2 )

    Quando v = 4 m / s : x = 1 0,3   x   ( 3 - 4 1 / 2 )

    Passo 2

  2. Temos: d v d t = a = - 0,6 v 3 / 2

    3. Quando t = 0 ,   v = 9 m / s : ∫ 9 v v - ( 3 / 2 ) d v = ∫ 0 t - 0,6 d t

    Ou - 2   x   v - ( t / 2 ) 9 v = - 0,6 t

    Ou 1 v - 1 3 = 0,3 t

    Quando v = 1 m / s : 1 1 - 1 3 = 0,3 t

    Passo 3

  3. Temos: 1 1 - 1 3 = 0,3 t ou v = 3 1 + 0,9 t 2 = 9 1 + 0,9 t ²

Agora d x d t = v = 9 ( 1 + 0,9 t ) ²

Em t = 0 ,   x = 0 : ∫ 0 x d x = ∫ 0 t 9 1 + 0,9 2 d t

Ou x = 9   x   1       1 0,91 + 0,9 t 0 t = 10 1 - 1 1 + 0,9 = 9 t 1 + 0,9 t

Quando x = 6 m : 6 = 9 t 1 + 0,9 t

Passo 2

Uma solução alternativa é começar com Eq.(1)

x = 1 0,3   x   ( 3 - v 1 / 2 )

Então d x d t = v = ( 3 - 0,3 x ) ²

Agora, quando t = 0 ,     x = 0 : ∫ 0 x d x 3 - 0,3 x 2 = ∫ 0 t d t

Ou t = 1 0,3   x   1 3 - 0,3 x 0 x = x 9 - 0,9 x

O que leva à mesma equação acima.

Resposta

  1. x = 3,33 m
  2. t = 2,22 s
  3. t = 1,667 s
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