Pequenas bolas de aço caem do repouso através da abertura em A a uma taxa constante de duas por segundo. Encontre a separação vertical h de duas bolas consecutivas quando a mais baixa tiver caído 3 metros. Despreze a resistência do ar.

Passo 1

Beleza, vamos dizer que t = 0 é o instante em que a primeira bola cai pela abertura. Qual é a função que dá a altura que a bola percorre em função do tempo?

s = s 0 + v 0 t + g t 2 2

Como a bola parte do repouso, temos v 0 = 0 e podemos dizer que o ponto de onde elas caem é s 0 = 0 :

s = g t 2 2

Vamos chamar essa função de h 1 , porque dá a altura percorrida pela primeira bola:

h 1 = g t 2 2

Se caem duas bolas a cada segundo (taxa constante), isso quer dizer que uma bola cai a cada 0,5 segundos! Ou seja, a segunda bola vai cair no instante t = 0,5   s , e a função que da a altura dela é:

h 2 = g t - 0,5 2 2

Passo 2

O que a questão quer saber é o seguinte: qual a diferença de altura entre as duas bolas quando h 1 = 3 :

h 2 - h 1 = g t 2 2 - g t - 0,5 2 2

Δ h = g 2 [ t 2 - t 2 + t - 0,5 2 ]

Δ h = g 2 [ t - 0,5 2 ]

Passo 3

Então só fica faltando encontrar t quando h 1 = 3

3 = g t 2 2

t 2 = 6 g

t ≅ 0,782   s

E então:

Δ h = g 2 [ t - 0,5 2 ]

Δ h = g 2 [ 0,782 - 0,5 2 ]

Δ h = 2,61   m

Pronto!

Resposta

A separação vertical é de 2,61   m .

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