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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 6.9 - Ex. 226

O pequeno bloco de massa m desliza na ranhura radial lisa do disco, que gira livremente em seu mancal. Se o bloco é ligeiramente deslocado da posição central quando a velocidade angular do disco é ω 0 , determine sua velocidade radial v r como uma função da distância radial r. O momento de inércia de massa do disco em relação ao seu eixo de rotação é I 0 .

Passo 1

Pessoal, vamos representar o disco e o bloco pela vista superior.

A aceleração resultante na direção radial r é igual a diferença entre a aceleração linear do bloco e da aceleração normal devido à rotação do sistema.

a r = r ¨ - r ω 2

Neste instante, a velocidade angular do sistema não é a mesma da condição inicial, devido ao deslocamento do bloco de massa m. Para encontrar o ω , devemos usar a conservação de momento angular (lembrando-se de usar o teorema dos eixos paralelos para o bloco):

I 0 ω 0 = I 0 + m r 2 ω

ω = I 0 ω 0 I 0 + m r 2

Beleza! Agora, vamos usar a equação de equilíbrio das forças na direção radial para o bloco.

∑ F r = m a r = m ( r ¨ - r ω 2 )

Como não há nenhuma força externa atuando no bloco:

0 = m ( r ¨ - r ω 2 )

Substituindo o valor de ω :

r ¨ = I 0 ω 0 I 0 + m r 2 2 r

Passo 2

Agora vem o grande pulo do gato desta questão. O enunciado pede a velocidade radial r ˙ e nós temos somente a aceleração. Porém, existe uma relação importante:

r ¨ = r ˙ d r ˙ d r

Esta relação vem da regra da cadeia. Vamos lá! A derivada da velocidade em função da posição r ( t ) pode ser escrita como:

d r ˙ d r = d r ˙ d t   d t d r    

A função r ( t )   é inversível, pois só há um valor de r para cada t. Vale então a relação:

d t d r = 1 d r / d t = 1 r ˙

E ainda temos que:

d r ˙ d t = r ¨

Substituindo na equação anterior:

d r ˙ d r = r ¨   1 r ˙

E enfim chegamos a:

r ˙ d r ˙ d r = r ¨

Passo 3

Agora sim!!! Voltando ao problema.

r ¨ = r ˙ d r ˙ d r = I 0 ω 0 I 0 + m r 2 2 r

Multiplicando os dois lados por d r :

r ˙ d r ˙ = I 0 ω 0 I 0 + m r 2 2 r d r

E Integrando:

∫ 0 r ˙ r ˙ d r ˙ = I 0 ω 0 2   ∫ 0 r r d r I 0 + m r 2         ( 1 )

E tem mais algebrismo vindo ai.

Vamos fazer uma substituição de variável:

u = I 0 + m r 2

d u = 2 m r d r

Voltando pra integral:

∫ r d r I 0 + m r 2 = ∫ 1 2 m u 2 d u = 1 2 m ∫ d u u 2  

Agora dá pra resolver de boa:

1 2 m ∫ d u u 2 = - 1 2 m u

Voltando para a variável r :

- 1 2 m u = - 1 2 m I 0 + m r 2

Aplicando as condições de contorno:

- 1 2 m I 0 + m r 2 0 r = - 1 2 m I 0 + m r 2 - 1 2 m I 0 = - I 0 - ( I 0 - m r 2 ) 2 m I 0 + m r 2 ( I 0 )

= r 2 2 I 0 I 0 + m r 2

Finalmente, podemos substituir na equação (1):

∫ 0 r ˙ r ˙ d r ˙ = I 0 ω 0 2   r 2 2 I 0 I 0 + m r 2

r ˙ 2 2 = I 0 ω 0 2 r 2 2 I 0 + m r 2

r ˙ = I 0 ω 0 2 r 2 I 0 + m r 2

Pra deixar igual a resposta do livro:

r ˙ = ω 0 r I 0 I 0 + m r 2

Resposta

r ˙ = ω 0 r I 0 I 0 + m r 2

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