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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 70

Duas bolas idênticas A e B de massa m estão suspensas por codas de comprimento L / 2 e L , respectivamente. A bola A é liberada do repouso quando ϕ = 90 ° e oscila até ϕ = 0 ° , onde atinge B . Determine a velocidade escalar de cada bola logo após o impacto e o ângulo máximo θ através do qual B oscilará. O coeficiente de restituição entre as bolas é e .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro vamos descobrir com que velocidade a bola A chega em B . Aplicando conservação de energia, temos:

( T A ) 1 + ( V A ) 1 = ( T A ) 2 + ( V A ) 2

0 + m A g L 2 = 1 2 m A v A 2 2 + 0

v A 2 = g L

Agora que sabemos a velocidade inicial de A no impacto, precisamos encontrar a velocidade após o impacto:

→ +       ∑ m v 2 = ∑ m v 3

m A v A 2 + m B v B 2 = m A v A 3 + m B v B 3

m g L + 0 = m v A 3 + m v B 3

v A 3 + v B 3 = g L

Precisamos de outra equação para resolver o sistema, temos:

→ +       e = v B 3 - v A 3 v A 2 - v B 2

e = v B 3 - v A 3 g L - 0

v B 3 - v A 3 = e g L

Observe que conseguimos as seguintes equações:

v A 3 + v B 3 = g L

v B 3 - v A 3 = e g L

Podemos soma-las:

v A 3 + v B 3 + v B 3 - v A 3 = g L + e g L

2 v B 3 = ( 1 + e ) g L

v B 3 = 1 + e 2 g L

Logo:

v A 3 + v B 3 = g L

v A 3 + 1 + e 2 g L = g L

v A 3 = g L - 1 + e 2 g L

v A 3 = 1 - 1 + e 2 g L

v A 3 = 2 - 1 - e 2 g L

v A 3 = 1 - e 2 g L

Passo 2

Para saber o ângulo θ podemos usar conservação de energia novamente:

( T B ) 3 + ( V B ) 3 = ( T B ) 4 + ( V B ) 4

1 2 m B v B 3 2 + V g 3 = 1 2 m B v B 4 2 + V g 4

1 2 m 1 + e 2 g L 2 + 0 = 0 + m g L 1 - cos ⁡ θ

1 2 1 + e 2 g L 2 = g L 1 - cos ⁡ θ

1 2 1 + e 2 4 g L = g L 1 - cos ⁡ θ

1 + e 2 8 = 1 - cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 1 - 1 + e 2 8

θ = cos - 1 ⁡ 1 - 1 + e 2 8

Resposta

v B 3 = 1 + e 2 g L

v A 3 = 1 - e 2 g L

θ = cos - 1 ⁡ 1 - 1 + e 2 8

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