Enunciado
Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.3 - Ex. 72
Determine a amplitude da vibração vertical do reboque com suspensão de molas, enquanto viaja a uma velocidade de sobre a estrada ondulada cujo contorno pode ser expresso por um termo de seno ou cosseno. A massa do reboque é de e a massa das rodas isoladas pode ser desprezada. Durante o carregamento, cada adicionados à carga fazem com que o reboque desça sobre suas molas. Assuma que as rodas estão em contato com a estrada o tempo todo e despreze o amortecimento. A que velocidade crítica a vibração do reboque é máxima?
Passo 1
Um reboque oscila verticalmente ao longo de uma estrada ondulada.
Dados da questão:
- Massa: .
- Rigidez da mola: . (Desconhecido)
- Velocidade:
- Comprimento do trajeto: .
- Amplitude do forçamento: . (Trajeto ondulado!)
- Amplitude do movimento da base: .
Queremos descobrir a amplitude do movimento de vibração do reboque ( e a velocidade crítica que causa a máxima oscilação dele.
O sistema não tem amortecimento, mas possui rigidez (suspensão por molas). Vamos começar achando essa rigidez, a frequência natural de oscilação e a frequência do forçamento, aí podemos analisar a dinâmica em seguida para descobrir .
Passo 2
A questão diz que uma massa de faz as molas contraírem . A força que as massas geram é o peso delas, então já podemos achar o valor de ! Dica: lembre-se que as unidades do são
Com isso aí conseguimos calcular a frequência natural:
Pronto! Essas são as características do sistema. Agora vamos ver como fica pro forçamento.
Passo 3
O reboque vai atravessar com uma velocidade constante, levando tempo .
O período é o tempo até o trajeto ondulatório se repetir. Ele é o inverso da frequência.
Ótimo, achamos a frequência de oscilação do forçamento. Agora temos todos as características do problema. Vamos ver como fica a amplitude da resposta.
Passo 4
Para o sistema conservativo, sabemos que a fórmula da amplitude da resposta no regime permanente nos diz que
Aplicando os valores, encontramos
Vamos ver a tal velocidade crítica.
Passo 5
A vibração será máxima quando a frequência do forçamento for igual a frequência natural.
Olha que fácil! Só fazer umas contas
Resposta
Amplitude da vibração vertical: .
Velocidade crítica: .