Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 4.8 - Ex. 96
Um pequeno foguete com massa inicial é lançado verticalmente para cima, próximo à superfície da Terra ( constante), e a taxa de exaustão de massa e a velocidade relativa de exaustão são constantes. Determine a velocidade como uma função do tempo de voo se a resistência do ar é desprezada e se a massa da estrutura do foguete e dos equipamentos é desprezível em comparação com a massa do combustível transportado.
Passo 1
Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton na direção vertical:
E a grande questão aqui é lembrar que a massa não é constante, e podemos escrever a seguinte função:
E então:
E qual é a soma das força agindo na direção vertical? Temos a força peso e a força exercida pela queima de combustível, que deixa o foguete com velocidade de exaustão :
Agora vamos juntar as duas expressões:
Passo 2
Beleza, nosso objetivo é calcular a velocidade como função do tempo. Para fazer isso podemos reescrever a aceleração como , então:
E ficamos com uma equação diferencial separável:
Agora podemos resolver essa equação diferencial para encontrar :
Resposta
A velocidade é dada por .