O pistão vertical possui uma massa de 2.5 kg e é sustentado pelas duas molas, que estão sempre em compressão. Calcule a frequência natural f n de vibração do pistão se ele é deslocado da posição de equilíbrio e liberado a partir do repouso. O atrito na guia é desprezível.

Passo 1

Bom, o enunciado nos diz que as molas estão sempre em compressão, mesmo nas situações de extremo (quando uma das molas está completamente comprimida, a outra ainda estará comprimida, mesmo que levemente). Assim, sempre haverá uma força restauradora vinda de cada mola mesmo para a situação de repouso do sistema, onde as forças resultam zero. Vamos escrever a segunda lei de Newton para esse caso:

∑ F y = C 2 + m g - C 1 = 0

C 1 = C 2 + m g

Onde C 1 e C 2 são as forças de restauração de cada mola (sendo 1 a mola de cima e 2 a mola de baixo) independente do movimento oscilatório,

Passo 2

A segunda lei de Newton para o movimento oscilatório então será:

∑ F y = C 2 - k 2 y + m g - C 1 - k 1 y = m y ¨

As forças k 2 y e k 1 y estão relacionadas com a restauração das molas quando elas comprimem além da compressão de cada uma no repouso do sistema.

Substituindo C 1 :

- k 2 y - k 1 y = m y ¨

Reescrevendo:

y ¨ + k 1 + k 2 m y = 0

Passo 3

Como o fator que multiplica o y é a frequência natural ao quadradom precisamos apenas convertê-la para a frequência de ciclos por segundo:

ω n = k 1 + k 2 m = 2 π f n

f n = 1 2 π k 1 + k 2 m

Substituindo os valores de cada grandeza:

f n = 1 2 π 3.6 k N / m + 1.8 k N / m 2.5 k g ≈ 7.4   H z

Resposta

f n ≈ 7.4   H z

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