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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 42

Duas hastes uniformes, cada uma com massa m e comprimento L, são conectadas para formar a articulação mostrada. A extremidade D da haste BD pode deslizar livremente na fenda horizontal, enquanto a extremidade A da haste AB é suportada por um pino e um suporte. Se a extremidade D for movida ligeiramente para a esquerda e então liberada, determine sua velocidade (a) quando ela está diretamente abaixo de A, (b) quando a barra AB está vertical.

Passo 1

O exercício pede que a gente determine sua velocidade (a) quando ela está diretamente abaixo de A, (b) quando a barra AB está vertical.

Momentos de Inércia: I - A B = I - B D = 1 12 m L 2 I A = 1 3 m L 2

Passo 2

Posição 1: para baixo

T 1 = 0

V 1 = m g h A B + m g h B C = 0 + m g - L 2 = - 1 2 m g L

Passo 3

(a) Posição 2: Na posição 2, ponto A é o centro instantâneo de AB e BD, Já que o ponto B pe comum a ambos

ω A B = ω B D = ω 2

v D = l ω 2 v G = l ω c o s ⁡ 30 ∘

Passo 4

Energia Cinética:

T 2 = 1 2 I A ω 2 2 + 1 2 m v G 2 + 1 2 I ~ B D ω 2 2 : T 2 = 1 2 1 3 m L 2 ω 2 2 + 1 2 m / ω 2 c o s ⁡ 30 ∘ 2 + 1 2 1 12 m L 2 ω 2 2 = 7 12 m L 2 ω 2 2

Energia potencial:

V 2 = m g h A B + m g h B D

V 2 = m g - L 2 s i n ⁡ 30 ∘ + m g - 3 L 2 s i n ⁡ 30 ∘ = - m g L

Passo 5

Conservação de energia:

T L + V 1 = T 2 + V 2 : 0 - 1 2 m g L = 7 12 m L 2 ω 2 2 - m g L

ω 2 2 = 6 g 7 L

ω 2 = 0.926 g L

v D = L ω 2 = 0.926 g L

v D = 0.926 g L

Passo 6

(b) Posição 3 : Na posição 3, Bd está em translação

v D = v B = L ω A B = L ω 3

Energia Cinética:

T 3 = 1 2 I A ω 3 2 + 1 2 m v B 2 : T 3 = 1 2 1 3 m L 2 ω 3 2 + 1 2 m L ω 3 2 = 2 3 m L 2 ω 3 2

Energia potencial: V 3 = m g - L 2 + m g ( - L ) = - 3 2 m g L

Conservação de energia:

T 1 + V 1 = T 3 + V 3 : 0 - 1 2 m g L = 2 3 m L 2 ω 3 2 - 3 2 m g L

ω 3 2 = 3 2 g L

ω 3 = 1.225 g L

v D = L ω 3 = 1.225 g L

v D = 1.225 g L ←

Resposta

(a)   v D = 0.926 g L

(b)   v D = 1.225 g L ←

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