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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 90

Um projétil é disparado com uma velocidade escalar de v = 60 m/s em um ângulo de 60°. Um segundo projétil é, então, disparado com a mesma velocidade 0,5s mãos tarde. Determine o ângulo θ do segundo projétil de maneira que os dois projéteis colidam. Em qual posição (x,y) isso vai acontecer?

Passo 1

Primeiramente deve-se estabeler os deslocamentos horizontais em x para ambos os projéteis.

Para o primeiro projétil, temos que a sua componente horizontal da velocidade de lançamento é v x = 60 cos ⁡ 60 ° = 30   m / s , que o projétil parte da posição horizontal x 0 = 0   m   e que tempo inicial vale t = t 1 , de forma que :

x = x 0 + v x t

x = 0 + 30 t 1 (1)

Para o segundo projétil, temos que a sua componente horizontal da velocidade de lançamento é v x = 60 cos ⁡ θ , que o projétil parte da posição horizontal x 0 = 0   m   e que tempo inicial vale t = t 1 - 0,5 , de forma que :

x = 0 + 60 cos ⁡ θ ( t 1 - 0,5 ) (2)

Passo 2

Depois deve-se estabeler os deslocamentos verticais em y para ambos os projéteis.

Para o primeiro projétil, temos que a sua componente vertical da velocidade de lançamento é v y = 60 sin ⁡ 60 ° = 51,96   m / s , que o projétil parte da posição vertical y 0 = 0   m , que tempo inicial vale t = t 1 e a aceleração vertical é a y = - g = - 9,81 m / s 2 de forma que :

y = y 0 + v y t + 1 2 a y t 2

y = 0 + 51,96 t 1 + 1 2 ( - 9,81 ) t 1 2

y = 51,96 t 1 - 4,905 t 1 2 (3)

Para o segundo projétil, temos que a sua componente vertical da velocidade de lançamento é v y = 60 sin ⁡ θ , que o projétil parte da posição vertical y 0 = 0   m , que tempo inicial vale t = t 1 - 0,5 e a aceleração vertical é a y = - g = - 9,81 m / s 2 de forma que :

y = 0 + 51,96 ( t 1 - 0,5 ) - 1 2 - 9,81 ( t 1 - 0,5 ) 2

y = 0 + 51,96 t 1 - 0,5 - 1 2 - 9,81 ( t 1 - 0,5 ) 2

y = 51,96 t 1 - 26,98 - 4,905 t 1 2 + 4,905 t 1 - 1,22625 (4)

Passo 3

Igualando (1) e (2), temos que:

30 t 1 = 60 cos ⁡ θ ( t 1 - 0,5 )

t 1 = cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ - 1 (5)

Igualando (3) e (4), temos que:

51,96 t 1 - 4,905 t 1 2 = 51,96 t 1 - 26,98 - 4,905 t 1 2 + 4,905 t 1 - 1,22625

t 1 = 30 sin ⁡ θ   + 1,22625 60 sin ⁡ θ - 47,06 (6)

Igualando (5) e (6), temos que:

cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ - 1 = 30 sin ⁡ θ   + 1,22625 60 sin ⁡ θ - 47,06

49,51 cos ⁡ θ - 30 sin ⁡ θ = 1,22625 (7)

Ângulo θ de disparo do segundo projétil é obtido pelo método de tentativa e erro aplicado a (7), de forma que :

θ = 57,6 °

Passo 4

Substituindo o ângulo calculado no passo 3 em (5) temos que o tempode colisão dos projéteis será:

t 1 = cos ⁡ 57,6 ° 2 cos ⁡ 57,6 ° - 1 = 7,3998   s

Substituindo o tempo de colisão calculado t 1 em (1) e (3), temos que a posição x e y de colisão dos projéteis será:

x = 30 7,3998 = 222   m

y = 51,96 7,3998 - 4,905 7,3998 2 = 116   m

Resposta

De acordo com os passos 1,2,3 e 4 o ângulo   θ de disparo do segundo projétil para que haja a colisão deve ser :

θ = 57,6 °

E a posição (x,y) que a colisão irá ocorrer será:

x = 222   m

y = 116   m

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