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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.4 - Ex. 96

Um projétil é lançado a partir do ponto A com uma velocidade inicial v 0 = 30   m / s . Determine o valor mínimo do ângulo de lançamento α com o qual o projétil cairá no ponto B .

Passo 1

Como a gente tem todas as dimensões do problema e não precisamos de saber nada a respeito do tempo, será útil construirmos a equação da trajetória de um projétil desse tipo.

Começamos pela seguinte equação do movimento horizontal:

x = x 0 + v x t = x 0 + v 0 cos ⁡ α t

t = x - x 0 v 0 cos ⁡ α

Agora, a gente escreve a seguinte equação do movimento vertical:

y = y 0 + v 0 y t - 1 2 g t 2 = y 0 + v 0   s e n   α t - 1 2 g t 2

Só resta substituir a expressão de t já encontrada:

y = y 0 + v 0   s e n   α x - x 0 v 0 cos ⁡ α - 1 2 g x - x 0 v 0 cos ⁡ α 2

y = y 0 + t g   α x - x 0 - g sec 2 ⁡ α 2 v 0 2 x - x 0 2

Então essa é a equação da trajetória de um projétil lançado da posição ( x 0 ,   y 0 ) com velocidade v 0 e fazendo um ângulo θ com a horizontal, beleza?

Passo 2

Nessa situação da figura, podemos colocar x 0 = 0   m , y 0 = 24   m (coordenadas do ponto A ), v 0 = 30   m / s e g = 9,8   m / s 2 . Também já vamos substituir x = 1 10   m e y = 0   m , que são as coordenadas do ponto B :

0 = 24 + t g   α 110 - 0 - 9,8 sec 2 ⁡ α 2 30 2 110 - 0 2

0 = 24 + 1 10   t g   α - 65 , 88 sec 2 ⁡ α

Lembrando que sec 2 ⁡ α = 1 + t g 2 α , temos:

0 = 24 + 110   t g   α - 65 , 88 - 65 , 88   t g 2 α

65 , 88   t g 2 α - 110   t g   α + 41 , 88 = 0

t g   α = 0,58 7                     o u                     t g   α = 1,082

α = t g - 1 0,587                     o u                     α = t g - 1 1,082

α = 30,4 °                     o u                     α = 47,3 °

Passo 3

No passo anterior, encontramos dois valores de α para os quais o projétil chega em B . Porém, não temos certeza se o projétil consegue ultrapassar aquela quina em x = 85   m . Pra testar isso, vamos novamente usar a equação da trajetória, substituindo esse valor de x e cada valor de ângulo obtido:

y = 24 + t g   30,4 ° 85 - 0 - 9,8 sec 2 ⁡ 30,4 ° 2 30 2 85 - 0 2

y = 24 + 49,87 - 52,88

y = 21   m

Como y < 24   m , o projétil acerta o chão antes do degrau, então o valor de 30,4 ° não pode ser a solução.

Agora testemos o valor de 47,3 ° :

y = 24 + t g   47,3 ° 85 - 0 - 9,8 sec 2 ⁡ 47,3 ° 2 30 2 85 - 0 2

y = 24 + 92,11 - 85,53

y = 30,6   m

Agora sim temos y > 24   m , e portanto, o valor mínimo é:

α = 47,3 °

Resposta

α = 47,3 °

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