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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.4 - Ex. 100

Um projétil é lançado com velocidade v 0 a partir do ponto A . Determine o ângulo de lançamento θ que resulta no alcance máximo R para cima do declive com ângulo α (onde 0 ≤ α ≤ 90 ° ). Avalie seus resultados para α = 0 , 30 ° e 45 ° .

Passo 1

Primeiramente, vamos deduzir a equação da trajetória do projétil, considerando o ponto A como a origem do sistema de coordenadas. Começamos com a equação do movimento horizontal:

x = x 0 + v x t = 0 + v 0 cos ⁡ θ t

t = x v 0 cos ⁡ θ

Agora, a gente escreve a seguinte equação do movimento vertical:

y = y 0 + v 0 y t - 1 2 g t 2 = 0 + v 0   s e n   θ t - 1 2 g t 2

Só resta substituir a expressão de t já encontrada:

y = v 0   s e n   θ x v 0 cos ⁡ θ - 1 2 g x v 0 cos ⁡ θ 2

y = t g   θ x - g sec 2 ⁡ θ 2 v 0 2 x 2

Passo 2

Vamos substituir as coordenadas do ponto B na equação da trajetória, que acabamos de obter. Ou seja, x = R cos ⁡ α e y = R   s e n   α :

R   s e n   α = t g   θ R cos ⁡ α - g sec 2 ⁡ θ 2 v 0 2 R cos ⁡ α 2

Vamos manipular a equação de modo isolar o alcance R no final:

2 v 0 2 R   s e n   α = 2 v 0 2 R   t g   θ cos ⁡ α - g R 2 sec 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ α

g R sec 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ α = 2 v 0 2   t g   θ cos ⁡ α - s e n   α

R = 2 v 0 2 g cos 2 ⁡ α t g   θ cos ⁡ α - s e n   α sec 2 ⁡ θ

R = 2 v 0 2 g cos ⁡ α t g   θ - t g   α sec 2 ⁡ θ

Passo 3

A expressão de R que acabamos de obter tem em sua composição um fator que depende de θ , o chamaremos de J e o trataremos como uma função de θ :

J θ = t g   θ - t g   α sec 2 ⁡ θ = s e n   θ cos ⁡ θ - t g   α cos 2 ⁡ θ

J θ = 1 2 s e n ( 2 θ ) - t g   α cos 2 ⁡ θ

Para que o alcance R seja máximo, precisamos de um valor de θ que maximize a função J ( θ ) . Então vamos derivá-la em relação a θ e igualar sua derivada a zero:

J ' θ = 0

cos ⁡ 2 θ + 2 t g   α cos ⁡ θ s e n   θ = 0

cos ⁡ 2 θ + t g   α   s e n 2 θ = 0

1 + t g   α   t g 2 θ = 0

t g 2 θ = - 1 t g   α

2 θ = t g - 1 - 1 t g   α = 180 ° - t g - 1 1 t g   α = 180 ° - 90 ° - α = 90 ° + α

θ = 90 ° + α 2

Então essa é a expressão de θ que permite o alcance máximo. Vamos aplica-la para alguns ângulos:

α = 0 ⇒ θ = 45 °

α = 30 ° ⇒ θ = 60 °

α = 45 ° ⇒ θ = 67,5 °

Resposta

θ = 90 ° + α 2

θ = 45 ° ,   60 ° ,   67,5 °

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