Prove que uma força F x , y , z é conservativa se, e somente se, as seguintes relações forem satisfeitas:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x ∂ F y ∂ z = ∂ F z ∂ y ∂ F z ∂ x = ∂ F x ∂ z

Passo 1

Para uma força conservativa, sabemos que:

F x = - ∂ V ∂ x

F y = - ∂ V ∂ y

F z = - ∂ V ∂ z

Derivando F x com relação a y , temos que:

∂ F x ∂ y = - ∂ 2 V ∂ x ∂ y

Derivando F y com relação a x , temos:

∂ F y ∂ x = - ∂ 2 V ∂ x ∂ y

Portanto:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Se derivarmos F y com relação a z e F z com relação a y , teremos:

∂ F y ∂ z = ∂ F z ∂ y = ∂ 2 V ∂ y ∂ z

Analogamente, se derivarmos F z com relação a x e F x com relação a z , teremos:

∂ F z ∂ x = ∂ F x ∂ z = ∂ 2 V ∂ x ∂ z

Provando assim a proposição do enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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