Quatro hastes esbeltas idênticas, cada uma de massa m, são soldadas em suas extremidades para formar um quadrado, e os vértices são em seguida soldados a um aro leve de metal com raio r . Se o conjunto rígido das hastes e do aro rola para baixo na inclinação, determine o valor mínimo do coeficiente de atrito estático que impedirá o deslizamento.

Passo 1

Precisaremos encontrar primeiro o momento de inercia do sistema, para encontrarmos o momento total em relação ao centro de massa do corpo, como o corpo giram em torno do centro da circunferência, o momento de inércia será:

I = 4 1 12 m 2 r 2 + m r 2 2 = 8 3 m r 2

O raio da circunferência é r, então a distância do centro até o vértice do quadrado será r, e portando, cada barra terá comprimento:

d 2 = r 2 + r 2 = r 2

Por isso o momento de inércia é escrito dessa maneira.

Passo 2

Agora precisaremos calcular o momento em relação ao centro de massa G:

∑ M G = I α

Como a única força que produz momento sobre o centro de massa é a força de atrito (já que a gravidade atua diretamente no centro de massa, o que não produz momento em relação ao centro de massa), a equação ficará:

F a t r = I α

α = F a t r I

Sendo que F a t é perpendicular a r.

Passo 3

E por fim vamos colocar um referencial onde x está paralelo ao plano inclinado, e y perpendicular, dessa forma, a segunda lei de Newton para a coordenada y será zero:

∑ F y = 0

E as forças envolvidas serão:

N - 4 m g c o s θ = 0

N = 4 m g c o s θ

O cosseno aparece por precisarmos da projeção da força gravitacional na direção de y, e o 4 é devido às 4 barras, cada uma com massa m.

E para a coordenada x:

∑ F x = m a

4 m g s e n θ - F a t = 4 m a

Isolando F a t :

F a t = 4 m g s e n θ - 4 m a

Passo 4

Como não há deslizamento, podemos relacionar a aceleração angular à linear pela equação:

a = r α

substituindo α que obtemos antes:

a = r F a t r I

Colocando na equação da força de atrito que encontramos no passo acima:

F a t = 4 m g s e n θ - 4 m r F a t r I

Isolando F a t de novo:

F a t = 4 m g s e n θ 1 + 4 m r 2 I

Substituindo I :

F a t = 4 m g s e n θ 1 + 4 m r 2 8 3 m r 2

Simplificando:

F a t = 4 m g s e n θ 1 + 12 8 = 8 5 m g s e n θ

Passo 5

Pela equação da força de atrito, podemos encontrar o coeficiente de atrito estático:

F a t = μ e N

Utilizando a equação de N que encontramos pela segunda lei de Newton para a coordenada y:

μ e = F a t N = 8 5 m g s e n θ 4 m g c o s θ = 2 5 t g θ

Resposta

μ e = 2 5 t g θ

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