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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 78

O raio da órbita da lua de um determinado planeta é igual a duas vezes o raio desse planeta. Denotando por p a densidade média do planeta, mostra que o tempo necessário para a lua completar uma revolução completa sobre o planeta é ( 24 π / G ρ ) v 2 , onde G é a constante de gravitação.

Passo 1

Vamos a mais um exercício, vem comigooo!!!!!

Para força gravitacional e órbita circular é dada por:

F r = G M m r 2 = m v 2 r     ou     ν = G M r

Passo 2

seja τ o tempo periódico para completar uma órbita, temos que:

v = 2 π r     ou      τ G M r = 2 π r

Passo 3

Resolvendo para τ

τ = 2 π r 3 2 G M m a s   M = 4 3 π R 3 ρ ,   c o n s e q u e n t e m e n t e     , G M = 2 π 3 G ρ R 32 e n t ã o τ = 3 π G ρ r R 3 / 2

Passo 4

usando r = 2r como um dado leva a

τ = 2 3 2 3 π G ρ = 24 π G ρ                                                                        

τ = ( 24 π / G ρ ) 1 / 2

Resposta

τ = ( 24 π / G ρ ) 1 / 2

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