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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 189

Resolva o Problema 12.188 se a came tiver uma aceleração angular de θ ¨ = 2   r a d / s 2 quando sua velocidade angular é θ ˙ = 4   r a d / s em θ = 30 ° .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede as intensidades da velocidade e aceleração do ponto na came que contata a barra seguidora no instante que θ = 30 ° = π 6 .

Temos que:

r = 40 e 0,05 θ

r ˙ = d r d t

r ˙ = d d t 40 e 0,05 θ

r ˙ = 0,05 40 e 0,05 θ θ ˙

r ˙ = 2 e 0,05 θ θ ˙

Para descobrir r ¨ , temos que derivar r ˙ , porém temos que aplicar a regra do produto, pois temos uma função com θ multiplicando θ ˙ :

d r ˙ d t = d d t 2 e 0,05 θ θ ˙

r ¨ = 2 e 0,05 θ d θ ˙ d t + 0,05 2 e 0,05 θ θ ˙ d θ d t

r ¨ = 2 e 0,05 θ θ ¨ + 0,1 e 0,05 θ θ ˙ 2  

Passo 2

Agora vamos substituir os valores:

r = 40 e 0,05 π 6

r = 41,061   m m

r ˙ = 2 e 0,05 π 6 ( 4 )

r ˙ = 8,2122   m m / s

E:

r ¨ = 2 e 0,05 π 6 ( 2 ) + 0,1 e 0,05 π 6 ( 4 ) 2

r ¨ = 5,749   m m / s 2

Queremos:

v = v r 2 + v θ 2

E:

a = a r 2 + a θ 2

Passo 3

Sabemos que:

v r = r ˙ = 8,2122   m m / s

v θ = r θ ˙

v θ = ( 41,061 ) ( 4 )

v θ = 164,24   m m / s

A magnitude da velocidade será:

v = 8,2122 2 + 164,24 2

v = 164   m m / s

Passo 4

Para a aceleração, teremos que a componente a r é:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a r = 5,749 - 41,061 4 2

a r = - 651 , 2   m m / s 2  

A componente a θ é dada por:

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

a θ = 41,061 2 + 2 ( 8,2122 ) ( 4 )

a θ = 146,8197   m m / s 2

Logo:

a = - 651,2 2 + 146,8197 2

a = 668   m m / s 2

Resposta

v = 164   m m / s

a = 668   m m / s 2

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