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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 230

Resolva o Problema 15.221, supondo que no instante mostrado a velocidade angular ω 1 da haste é 3 rad / s e está aumentando a uma taxa de 12 rad / s², enquanto a velocidade relativa u do colar é 34 in/s e está diminuindo no taxa de 85 pol./s².

PROBLEMA 15.221 - A haste dobrada mostrada gira a uma taxa constante ω 1 = 3 r a d / s . Sabendo que o colar C se move em direção ao ponto D a uma velocidade relativa constante u = 34 in/s, determine, para a posição mostrada, a velocidade e a aceleração de C se   ( a )   x = 5   i n .   ,   ( b )   x = 15   i n . .

Passo 1

O enunciado pede que a gente Resolva o Problema 15.221, supondo que no instante mostrado a velocidade angular ω 1 da haste é 3 rad / s e está aumentando a uma taxa de 12 rad / s², enquanto a velocidade relativa u do colar é 34 in/s e está diminuindo no taxa de 85 pol./s².

(a) x = 5 i n

y C 8 i n . = 10   i n .   15 i n ; y C = 16 3   i n .     ∂ B C = 15 i - 8 j 17   v C / F = u ∂ B C   = ( 34 i n / s ) 15 i - 8 j 17   = ( 30 i n / s ) i - ( 16 i n / s ) j  

a C / F = u ˙ ∂ B C = - 85 i n / s 2 15 i - 8 j 17   = - 7.5 i n / s 2 i + 40 i n . s 2 j  

Ω = a 1 i = ( 3 r a d / s ) i ; Ω ˙ = ω i = - 12 r a d / s 2 i

r C / A = ( 5   i n .   ) i + 16 3   i n   j

Passo 2

Velocidade

v C ' = Ω × r C A = ( - 3 r a d / s ) i × ( 5   i n   ) i + 16 3 i n j   = - ( 16 i n / s ) k  

v C = v C ' + v C / F = - ( 16   i n   / s ) k + ( 30   i n .   / s ) i - ( 16 i n / s ) j

v C = 30   i n   s i - 16 i n s j - ( 16 i n / s ) k

Passo 3

Aceleração a C / F , veja acima

a C ' = Ω ˙ × r C / A + Ω × Ω × r C / A

= Ω ˙ × r C A + Ω × v C '

= - 12 r a d / s 2 i × ( 5   i n .   ) i + 12 3 i n j + ( 3 r a d / s ) i × ( 16 i n / s ) k

a C ' = - 64   i n .   / s 2 k - 48 i n . / s 2 j   a c = 2 Ω × v C l F  

= 2 ( - 3 r a d / s ) i × [ ( 30 i n / s ) i - ( 16 i n / s ) j ]   = 96 i n / s 2 k  

a c = a c ' + a c / F + a c

= - 64 i n / s 2 k - 48 i n . s 2 j - 75 i n / s 2 i + 40 i n / s 2 j + 96 i n / s 2 k

a C = - 75 i n / s 2 i - 8 i n / s 2 j + 32 i n / s 2 k

Passo 4

(b) x = 15   i n . (colar C está em plano xz). Portanto, v C ' = 0

Velocidade: v C / F é a mesma como na Parte (a) acima

v C = v C + v C / F = 0 + v C / F :

v C = ( 30   i n .   /   s   ) i - ( 16   i n   / s ) j

Aceleração

a C / F é a mesma parte (a) acima

a C = 0 , uma vez que o colar desliza no eixo de rotação

a c = 2 Ω × v C / F   é a mesma parte (a) acima

a C = a c ' + a C / F + a c

= 0 - 75 i n / s 2 i + 40 i n / s 2 j + 96 i n / s 2 k

a C = - 75   i n .   / s 2 i + 40   i n   / s 2 j + 96   i n   / s 2 k

Resposta

(a) v C = 30   i n   s i - 16 i n s j - ( 16 i n / s ) k

a C = - 75 i n / s 2 i - 8 i n / s 2 j + 32 i n / s 2 k

(b)

v C = ( 30   i n .   /   s   ) i - ( 16   i n   / s ) j

a C = - 75   i n .   / s 2 i + 40   i n   / s 2 j + 96   i n   / s 2 k

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