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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 237

O guindaste mostrado gira a uma taxa constante col = 0,25 rad / s; simultaneamente, a lança telescópica está sendo abaixada a uma taxa constante ω 2 = 0.40 r a d / s . Sabendo que, no instante mostrado, o comprimento da lança é de 20 pés e está aumentando a uma taxa constante u = 1,5 pés / s, determine a velocidade e a aceleração do Ponto B.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine velocidade e a aceleração do Ponto B.

r B / A = r B = ( 20 f t ) s i n ⁡ 30 ∘ j + c o s ⁡ 30 ∘ k   = ( 10 f t ) j + ( 10 3 f t ) k  

Passo 2

Método 1

deixe a porção sem extensão da barra AB ser um quadro de referência rotativo

Sua velocidade angular é

Ω = ω 2 i + ω 1 j = ( 0.40 r a d / s ) i + ( 0.25 r a d / s ) j

Sua velocidade angular é

α = ω 1 j × ω 2 i = - ω 1 ω 2 k   = - 0.10 r a d / s 2 k  

Movimento coincidente do ponto B no quadro

v B ' = Ω × r B = ( 0.40 i + 0.25 j ) × ( 10 j + 10 3 k )   = ( 2.5 3 f t / s ) i - ( 4 3 f / s ) j + ( 4 f / s ) k  

a B ' = α × r B * + Ω × v B ' = i   j   k   0   0   - 0.10   0   10   10 3   + i   j   k   0.40   0.25   0   2.5 3   - 4 3   4  

i + i - 1.6 j - 3.8538 k = 2 f t / s 2 i - 1.6 f t / s 2 j - 3.8538 f t / s 2 k

Passo 3

Movimento relativo ao quadro

v B ! F = u s i n ⁡ 30 ∘ j + c o s ⁡ 30 ∘ k = ( 1.5 f t / s ) s i n ⁡ 30 ∘ j + ( 1.5 f t / s ) c o s ⁡ 30 ∘ k

a B / F = 0

Velocidade do ponto B

v B = v B ' + v B / F   v B = 2.5 3 i - 4 3 j + 4 k + 1.5 s i n s i n   30 ∘ j   + 1.5 c o s c o s   30   ° k  

v B = ( 4.33 f t / s ) i - ( 6.18 f t / s ) j + ( 5.30 f t / s ) k

Aceleração coriolis

2 Ω × v B / F   2 Ω × v B / F = ( 2 ) ( 0.40 i + 0.25 j ) × 1.5 s i n ⁡ 30 ∘ j + 1.5 c o s ⁡ 30 ∘ k   = 0.64592 f t / s 2 i - 1.03923 f t / s 2 j + 0.6 f t / s 2 k

Aceleração do ponto B

a B = a B ' + a B / F   + 2 Ω × v B / F     a B = ( 2 + 0.64592 ) i - ( 1.6 + 1.03923 j ) + ( - 3.8538 + 0.6 ) k  

a B = 2.65 f t / s 2 i - 2.64 f t / s 2 j - 3.25 f t / s 2 k

Passo 4

Deixe que o quadro Axyz, que no instante mostrado coincide com AXYZ, gire com uma velocidade angular Ω 1 = a 1 j = ( 0.25 r a d / s ) j . Então, o movimento relativo a esta estrutura consiste em girar a lança em relação à cabine e estender a lança.

Movimento do Ponto B 'coincidente no quadro.

v B ' = Ω × r B = 0.25 j × ( 10 j + 10 3 k )   = ( 2.5 3 m / s ) i  

a B ' = Ω × v B ' = 0.25 j × ( 2.5 3 i )   = - 0.625 3 m / s 2 k  

Passo 5

Movimento do ponto B em relação ao quadro. Permita que a parte sem extensão da lança seja uma estrutura giratória com velocidade angular constante Ω 2 = ω 2 i = ( 0.40 r a d / s ) i .

O movimento relativo a este quadro é o movimento extensional com velocidade

v B * = Ω 2 × r B = 0.40 i × ( 10 j + 10 3 k )   = - ( 4 3 f / s ) j + ( 4 f t / s ) k  

a B * = Ω 2 × v B ' = 0.40 i × ( - 4 3 j + 4 k )   = - 1.6 f t / s 2 j - 1.6 3 f t / s 2 k  

v B /   b a r r a   = u s i n ⁡ 30 ∘ j + c o s ⁡ 30 ∘ k = ( 1.5 f t / s ) s i n ⁡ 30 ∘ j + ( 1.5 f t / s ) c o s ⁡ 30 ∘ k

a B / b a r r a   = 0

2 Ω 2 × v j / b a r r a = ( 2 ) ( 0.40 i ) × 0.45 s i n ⁡ 30 ∘ j + 0.45 c o s ⁡ 30 ∘ k = - 1.03923 f t / s 2 j + 0.6 f t / s 2 k

V B / F = V B * + V B / b a r r a = - 1.6 j - 1.6 3 k + 0 - 1.03923 j + 0.6 k   = - 2.6392 f t / s 2 j - 2.1713 f t / s 2 k  

Passo 6

Velocidade do ponto B

v B = v B ' + v B i F   v B = 2.5 3 i - 6.1782 j + 5.3237 k  

v B = ( 4.33 f t / s ) i - ( 6.18 f t / s ) j + ( 5.32 f t / s ) k

Aceleração coriolis

2 Ω 1 × v B / F

2 Ω 1 × v B / F = ( 2 ) ( 0.25 j ) × ( - 6.1782 j + 5.3237 k )

= 2.6495 f t / s 2 i ]

Aceleração do ponto B

a B = a B ' + a B / F + 2 Ω 1 × v B / F   a B = - 0.625 3 k - 2.6392 j - 2.1713 k + 2.6495 i  

a B = 2.65 f t / s 2 i - 2.64 f t / s 2 j - 3.25 f t / s 2 k

Resposta

v B = ( 4.33 f t / s ) i - ( 6.18 f t / s ) j + ( 5.30 f t / s ) k

a B = 2.65 f t / s 2 i - 2.64 f t / s 2 j - 3.25 f t / s 2 k

v B = ( 4.33 f t / s ) i - ( 6.18 f t / s ) j + ( 5.32 f t / s ) k

a B = 2.65 f t / s 2 i - 2.64 f t / s 2 j - 3.25 f t / s 2 k

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