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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 48

Resolva o Problema 2.47, supondo que o núcleo é feito de aço ( E S = 200   G P a ) , ( a 1 = 11,7   x   10 - 6 / ° C ) em substituição ao latão.

Passo 1

Fala ai gurizada tudo belezinha?? O exercício pede para que a gente calcule a tensão, então vamos esboçar um desenho do tubo para melhor visualização....

Extraindo os dados do enunciado temos

Tubo de alumínio: E = 70   G P a       α = 23,6   x   10 - 6 / ° C

Para determinarmos a expansão térmica temos que ver a variação dessa temperatura...

∆ T = 195 - 15 = 180 ° C

A deformação dos elementos de aço e de alumínio são dados tais como:

Núcleo de aço: ( δ T ) s = L α s   x   ( ∆ T )

Tubo de alumínio: ( δ T ) a = L α a   x   ( ∆ T )

Expansão total da casca em relação ao núcleo:

δ = L ( α a - α b )   x   ( ∆ T )

Antes vamos calcular a área:

    A s = π 4   x   25 2 = 490,87   m m 2 = 490,87   x   10 - 6 m 2

( δ P ) s = P L E s A s

Passo 2

A deformação do tubo de alumínio é dada por: δ P a = P L E a A a

Antes vamos calcular a área: A a = π 4   x   60 2 -   25 2 = 2,3366   x   10 3 m m 2 = 2,3366   x   10 - 3 m m 2

A deformação total do elemento é dada por: δ = δ P s + δ P a

Substituindo pelas equações que determinamos no passo 1 temos....

L ( α a - α b )   x   ∆ T =   P L E s A s + P L E a A a = K P L

Onde,

K = 1 E s A s + 1 E a A a = 1 200   x   10 9   x   490,87   x   10 - 6 + 1 70   x   10 9   x   2,3366   x   10 - 3

= 16,2999   x   10 - 9 N - 1  

Então,

P = ( α a - α b )   x   ( ∆ T ) K = 23,6   x   10 - 6 - 11,7   x   10 - 6   x   180 16,2999   x   10 - 9

= 131,412   x   10 3 N  

Agora sim gurizada podemos calcular a tensão no alumínio:

σ a = P A a = - 131,412   x   10 3 2,3366   x   10 - 3 = - 56,241   x   10 6 P a = - 56,2   M P a

Resposta

σ a = - 56,2   M P a

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