Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 163

Resolver o Prob. 162, assumindo que é absorvido em cada engrenagem.

Passo 1

Fala aí, pessoal!! O problema pede o menor diâmetro que o eixo pode ter, para suportar as tensões cisalhantes exercicidas sobre ele.

Para descobrir esse diâmetro a gente utiliza uma equaçãozinha que relaciona os seguintes termos:

Onde é o momento polar de inércia, é o raio, o momento fletor e a torção, além disso temos também a máxima tensão de cisalhamento admissível .

Então percebam que nós temos de encontrar os momentos fletores atuantes no eixo assim como o torque (ou torção) exercido. O problema vai ser resumir basicamente nisso =D.

Então partiu?

Passo 2

Para achar os momentos fletores e as torções vamos fazer um diagrama de forças aplicadas ao eixo:

Agora vamos achar o torque. Vejam que o problema nos fornece uma rotação e uma potência , vamos utilizar esses dados para calcular o torque. Vamos fazer isso dividindo a potência transmitida pela velocidade angular:

E vamos calcular a frequência:

Então o torque que cada engranagem está submetida, de forma a absorver a potência de deve ser igual a:

Pessoal, além disso a gente tem que assumir que as engrenagens e , por estarem em contato com as engrenagens e , respectivamente, vão possuir o mesmo torque!! Dessa forma:

Passo 3

Galera, se a gente achou os torques podes facilmente achar as forças. Se lembra que:

Então vamos ter:

Como a engrenagem possui o mesmo raio e está submetida ao mesmo torque então terá a mesma força:

Show de bola, achamos essas duas forças!! Agora a gente pode substituir elas num novo diagrama da seguinte forma:

Ih, caraca!!! Agora ficou bem mais tranquilo de ver o problema né? Repara como a gente colocou as forças e atuando diretamente sobre o eixo, a gente pode deslocar essa força (que antes atuava no dente da engrenagem) para o eixo porque aplicamos também o respectivo torque da força!!!

Passo 4

Então a gente já tem os torques falta achar os momentos!!! Mas antes a gente precisa descobrir ainda quais são as forças atuantes em e em . Que tal substituir os valores que já calculamos no diagrama acima?

Show of pelotas!!

Agora a gente acha as forças restantes com as equações da estática:

Para as forças em :

Para os momentos em :

Com esses valores a gente pode achar as resultantes em também:

Só pra ficar organizadinho:

Passo 5

Parece que essa questão não acaba nunca né pelo amor.....

Mas já ta acabando eu juro!! Agora a gente só vai achar os bentidos momentos fletores. Para isso vamos olhar novamente nosso diagrama com os valores atualizados:

O que aconteceu com as torções?

Ficaram de fora porque não influenciam o momento fletor!

Agora vamos calcular o momento fletor nos pontos e que são os pontos críticos do problema:

Para :

Ufaaaa!!! Estamos prontos para o último passo galeraaaa!!!!

Passo 6

Agora a gente finalmente vai utilizar a nossa equação:

Perceba que temos momento em duas direções então vamos ter:

Beleza, agora qual ponto utilizar? O ponto ou ? A gente vai utilizar os dois e ver qual tem o termo mais elevado. Mas nesse caso específico os valores dos momentos são iguais, são estão trocados. Então o que vai influenciar mais será o valor da torção. Vamos calcular a torção para cada termo:

Analisando a figura a gente pode ver que o torque realizado pelo motor é igual à soma dos torques das engrenagens:

Dessa forma o local onde se encontra o maior torque é na seção do eixo. Como os momentos em e são iguais mas o torque de é maior então vamos utilizar o ponto :

Só para observar que nesse ponto o torque é igual ao torque do motor .

obs: Galera na real o ponto não será o ponto crítico o ponto crítico é o imediatamente antes ao ponto . Mas isso não faz muito diferença agora, embora seja legal saber disso =D