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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.9 - Ex. 159

A resultante das duas forças e do torque pode ser representada por um torçor. Determine a expressão vetorial para o momento M do torçor e encontre as coordenadas do ponto P no plano x z pelo qual passa a força resultante do torçor.

Passo 1

Queremos que a força resultante R seja representada como sendo aplicada num ponto ( x ,   0 ,   z ) , e que o momento resultante M das forças e do torque no ponto seja paralelo a essa força resultante. Então devemos calcular R e M no ponto ( x ,   0   , z ) e após isso igualar os dois vetores diretores unitários.

Passo 2

Primeiro, calculamos a força resultante:

R = 100 i + 100 j

Agora, achamos o vetor unitário de R, sendo R o módulo de R:

R = R n ⇒ n = R R

R = 100 2 + 100 2 = 100 2

n = 1 100 2 100 i + 100 j = 1 2 i + 1 2 j

Passo 3

Agora devemos calcular o momento resultante das duas forças e do torque no ponto ( x ,   0 ,   z ) . A força paralela ao eixo x causa um momento em torno do eixo z , com uma distância de 0,3 m e no sentido negativo (dado pela regra da mão direita) e outro momento em torno do eixo y , com uma distância de 0,4 - z m e no sentido positivo.

M 1 = - 100 ⋅ 0,3   k + 100 0,4 - z j = 40 - 100 z j - 30 k

A força paralela ao eixo y causa um momento em torno do eixo z com uma distância de 0,4 - x m no sentido positivo e um momento em torno do eixo x com uma distância z m no sentido positivo.

M 2 = 100 ⋅ 0,4 - x k + 100 ⋅ z i = 100 z i + 40 - 100 x k

Agora somamos os dois momentos com o torque de - 20 j N.m:

M = 40 - 100 z j - 30 k + 100 z i + 40 - 100 x k - 20 j

M = 100 z i + 20 - 100 z j + 10 - 100 x k

Passo 4

Agora devemos garantir que o vetor unitário de M seja 1 2 i + 1 2 j . Temos:

n = M M = 100 z M i + 20 - 100 z M j + 10 - 100 x M k = 1 2 i + 1 2 j

Isso nos dá 3 equações:

100 z M = 1 2 ⇒ M = 100 2 z

20 - 100 z M = 1 2 ⇒ M = 20 2 - 100 2 z

Dessas duas tiramos o valor de z :

M = 100 2 z = 20 2 - 100 2 z ⇒ 200 2 z = 20 2 ⇒ z = 0,1   m

Da terceira equação achamos x :

0 = 10 - 100 x M ⇒ 10 = 100 x ⇒ x = 0,1   m

Agora substituímos x e z para achar o valor de M:

M = 100 z i + 20 - 100 z j + 10 - 100 x k

M = 10 i + 10 j

Resposta

M = 10 i + 10 j

x = 0,1   m ; z = 0,1   m

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