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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.8 - Ex. 61

O rotor do giroscópio está girando na taxa constante p = 100   r p m em relação aos eixos x - y - z , no sentido indicado. Se o ângulo γ entre o anel de suspensão e o plano horizontal X - Y é levado a aumentar à taxa de 4   r a d / s e se a unidade é obrigada a realizar precessão em relação à vertical na taxa constante N = 20   r p m , calcule a quantidade de movimento angular H o do rotor quando γ = 30 º . Os momentos de inércia axial e transversal são I z z = 6 ⋅ 10 - 3   k g ⋅ m 2 e I x x = I y y = 3 ⋅ 10 - 3   k g ⋅ m 2 .

Passo 1

Para encontrarmos a quantidade de movimento H o para esse problema, iremos precisar calcular a velocidade angular total do sistema ω que é dada pela soma de todas as velocidades do sistema. Após isso iremos substituir na equação

H o = I x x ⋅ ω x ⋅ i + I y y ⋅ ω y ⋅ j + I z z ⋅ ω z ⋅ k

Passo 2

Vamos começar calculando a velocidade do sistema ω . Temos que ela será dada por

ω = p ⋅ k - γ ˙ ⋅ i + N = p ⋅ k - γ ˙ ⋅ i + N ⋅ cos ⁡ γ ⋅ j + sin ⁡ γ ⋅ k

Onde N é a velocidade de precessão do sistema e γ é o ângulo.

Convertendo as unidades todas para r a d / s , temos que p = 100 ⋅ 2 ⋅ π 60 = 10 ⋅ π 3   r a d / s e que N = 20 ⋅ 2 ⋅ π 60 = 2 ⋅ π 3   r a d / s . Assim, temos que

ω = 10 ⋅ π 3   r a d / s ⋅ k - 4   r a d / s   ⋅ i + 2 ⋅ π 3   ⋅ cos ⁡ 30 º ⋅ j + sin ⁡ 30 º ⋅ k   r a d / s    

ω = - 4   ⋅ i + 1.814 ⋅ j + 11.52 ⋅ k   r a d / s  

Agora queremos encontrar H o . Se substituirmos os valores dado pelo problema com os encontrados no Passo 2 na equação mostrada no Passo 1, teremos que:

H o = - 0.012 ⋅ i + 0.00544 ⋅ j + 0.0691 ⋅ k   k g ⋅ m 2 / s

Resposta

H o = - 0.012 ⋅ i + 0.00544 ⋅ j + 0.0691 ⋅ k   k g ⋅ m 2 / s

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