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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 4

4. Um mecanismo de sincronização consiste no braço distribuidor A B que gira e no contato fixo C . Se o braço gira em torno do eixo fixo O A com uma velocidade angular constante ω → = 30 3 i ^ + 2 j ^ + 6 k ^   r a d / s , e se as coordenadas do contato C expressas em milímetros são ( 20 , 30,80 ) , determine o módulo da aceleração da extremidade B do braço distribuidor quando passa pelo ponto C   ?

Passo 1

A fórmula da aceleração para um determinado ponto do nosso sistema é dada por:

a → = ω → ˙ × r → + ω → × ( ω → × r → )

Bem! O vetor r → , nada mais é do que o valor do vetor O C → , cujas coordenadas são dadas em m m , por:

r → = O C → = 20,30,80 - 0,30,0 = 20,0 , 80   m m

E o valor do vetor velocidade angular ω → , já nos foi dado pelo enunciado. Falta agora, apenas o valor da aceleração angular ω → ˙ , que sabemos ser igual a zero, uma vez que o enunciado nos diz que o mecanismo gira com aceleração angular constante.

Como já temos tudo que precisamos, vamos logo determinar a aceleração angular a → , que sabemos com nossas descobertas anteriores, ser dada na verdade por:

a → = ω → × ( ω → × r → )

Passo 2

Primeiramente vamos determinar quanto vale ω → × r → , dado que:

r → = 10 2 i ^ + 0 j ^ + 8 k ^   m m ω → = 30 3 i ^ + 2 j ^ + 6 k ^   r a d / s

E façamos o produto vetorial com o uso da matriz para ω → × r →

ω → × r → = 300 ⋅ i ^ j ^ k ^ 3 2 6 2 0 8

ω → × r → = 300 ⋅ [ 2 ⋅ 8 - 0 ⋅ 6 i ^ - 3 ⋅ 8 - 6 ⋅ 2 j ^ + ( 3 ⋅ 0 - 2 ⋅ 2 ) k ^ ]

ω → × r → = 300 ⋅ 16 i ^ - 12 j ^ - 4 k ^   m m s

Passo 3

Obtido quanto vale ω → × r → , vamos fazer agora o produto vetorial ω → × ( ω → × r → ) , dado que:

ω → × r → = 300 ⋅ ( 16 i ^ - 12 j ^ - 4 k ^ ) ω → = 30 3 i ^ + 2 j ^ + 6 k ^   r a d / s

ω → × ω → × r → = 300 ⋅ 30 ⋅ i ^ j ^ k ^ 3 2 6 16 - 12 - 4

ω → × ω → × r → = 9000 ⋅ [ - 8 + 72 i ^ - - 12 - 96 j ^ + ( - 36 - 32 ) k ^ ]

ω → × r → = 9000 ⋅ 64 i ^ + 108 j ^ - 68 k ^   m m s 2

E como sabemos que a → = ω → × ω → × r → , então:

a → = 9000 ⋅ 64 i ^ + 108 j ^ - 68 k ^   m m s 2

a → = 576 i ^ + 972 j ^ - 612 k ^   m s 2

Bom! Nos temos o vetor a → em termo de suas componentes. Só que a questão pede o módulo da aceleração, que nós sabemos que pode ser determinado elevando as componentes do vetor ao quadrado, somando e em seguida tirando a raiz:

a = ( 576   m / s ) 2 + ( 972   m / s ) 2 + ( - 612   m / s ) 2

a = 1651104   m / s

a ≅ 1285   m / s

Resposta

M ó d u l o   d a   a c e l e r a ç ã o → a ≅ 1285   m / s

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