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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 35

Sabendo que a constante da mola CD é k e que a mola está deformada quando a haste ABC está horizontal, determine o valor de θ correspondente ao equilíbrio para os dados indicados.

P = 300   N ,   l = 400   m m ,   k = 5 k N / m .

Passo 1

Primeiro vamos entender o problema! Temos uma força vertical para baixo P aplicada em A. A mola não é deformada quando ABC é horizontal, ele quer o valor de θ no equilíbrio.

Logo, precisamos encontrar as funções correspondente para derivarmos e usar no trabalho virtual. Assim teremos nossa equação geral.

Passo 2

Achou um pouco complicado? Vamos destrinchar!

Observe na figura o triângulo Δ A A ' B , o ângulo θ é entre a hipotenusa AB e o cateto BA’. Desse modo:

sin ⁡ θ = A A ' A B

Assumindo que, y a = A A ' e que l = A B , temos:

y a = l s i n   θ

Derivando:

d y a = l c o s   θ   d θ

Agora vamos atentar para o triângulo Δ B C D . Note que o ângulo entre BD e BD é 90 + θ . Se dividirmos esse ângulo pela metade formamos outro triângulo. Não é?! Onde o cateto oposto a ele é C D 2 e a hipotenusa é l .

Desse modo, temos que:

sin ⁡ 90 + θ 2 = C D 2 l  

Assumindo, v = C D , temos:

v = 2 l s i n 90 + θ 2

Derivando,

d v = l c o s   45 ° + θ 2 d θ

Passo 3

Já estamos quase terminando! Mas antes, vamos lembrar que a força na mola é dada por:

F = k s

Onde s é o alongamento da mola, então se alongarmos a mola, teremos:

s = v - v 0

Lembrando que v = C D , e v 0   é quando a mola está alongada, ou seja,

v 0 = l 2

Pois vou ter dois catetos de comprimento l. Assim,

s = v - v 0 = 2 l s i n 90 + θ 2 - 2 l

Portanto,

F = k 2 l s i n 90 + θ 2 - 2 l

F = k 2 l s i n 45 ° + θ 2 - 2 l

Passo 4

Pronto! Já temos a relação da força F, então basta utilizarmos o trabalho virtual que encontraremos a resposta.

Sabemos que, o trabalho virtual é 0. Ou seja,

d U = 0

E como,

d U = P d y a - F d v

Temos:

P d y a - F d v = 0

Logo,

P l c o s   θ   d θ - k l 2 s i n 45 ° + θ 2 - 2 l c o s   45 ° + θ 2 d θ   = 0

Isolando, teremos:

P k l = 1 cos ⁡ θ 2 sin ⁡ 45 ° + θ 2 cos ⁡ 45 ° + θ 2 - 2 cos ⁡ 45 ° + θ 2

Simplificando por operações trigonométricas de adição teremos:

P k l = 1 - 2 cos ⁡ 45 ° + θ 2 cos ⁡ θ  

Passo 5

Substituindo os valores da questão, teremos:

300 5000 * 0.4 = 1 - 2 cos ⁡ 45 ° + θ 2 cos ⁡ θ

Simplificando:

cos ⁡ 45 ° + θ 2 cos ⁡ θ = 0.60104

Resolvendo, teremos:

θ = 22.6 °

Resposta

θ = 22.6 °

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