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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 71

Sabendo que as engrenagens têm a mesma massa m , determine as posições de equilíbrio do sistema e determine em cada caso a estabilidade do equilíbrio:

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de estática. Sabemos que para encontrar a posição de equilíbrio, devemos encontrar a expressão da energia potencial e igualar sua derivada a 0. Logo, sabemos que:

V A B = m   g   h = m g × l sen ⁡ θ = m g l s e n ( θ )

V C D = m   g   h = m g   × l sen ⁡ θ = m g l s e n ( θ )

Logo, a energia potencial total será:

V = 2 m g l s e n θ

Vamos agora derivar a expressão:

V ' = 2 m g l c o s θ

Igualando a 0, teremos:

2 m g l c o s θ = 0

θ = π 2   ;   θ = 3 π 2

Portanto, as posições de equilíbrio são para estes 2 valores de θ .

Passo 2

Já para determinar a estabilidade das barras, precisamos estudar o sinal da segunda derivada. Logo:

V ' ' = - 2 m g l s e n θ

Já temos as situações de equilíbrio calculadas no passo 1, logo, vamos substituir para que possamos determinar a estabilidade da seguinte maneira:

E s t á v e l → V ' ' > 0

I n s t á v e l → V ' ' < 0

N e u t r o → V ' ' = 0

Portanto:

θ = π 2 → V ' ' = - 2 m g l → I n s t á v e l

θ = 3 π 2 → V ' ' = 2 m g l → E s t á v e l

Resposta

θ = 3 π 2 → E s t á v e l

  θ = π 2 → I n s t á v e l

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