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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 180

Sabendo que P = 10 kN, determine a tensão (a) no ponto A, (b) no ponto B.

Passo 1

Beleza! Vamos começar esse exercício escrevendo o raio interno da seção, que pode ser visto através da figura do enunciado, então temos:

r 1 = 100   m m = 0,1   m

Agora, para o raio externo da seção, que será dado pelo raio interno mais a altura do triângulo, temos:

r 2 = r 1 + h = 100 + 90 → r 2 = 190   m m = 0,19   m

Agora vamos calcular a área da seção, então temos:

A = b h 2 = 0,08 0,09 2 → A = 3,6 . 10 - 3   m 2

Agora vamos escrever o raio médio da seção, para isso, basta lembrar que o centroide do triângulo está a 1/3 da sua altura total com relação a base, então no nosso caso, basta somar 1/3 da altura ao comprimento do centroide até o ponto A, sendo assim, teremos:

r - = 100 + h 3 = 100 + 90 3 → r - = 130   m m = 0 , 13   m

Agora, para encontrar a localização do raio da superfície neutra da seção, vamos recorrer a fórmula para a seção triangular apresentada na figura 4.61 dessa seção, onde temos:

R = 1 2 h r 2 h ln ⁡ r 2 r 1 - 1  

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

R = 1 2 0,09 0,19 0,09 ln ⁡ 0,19 0,1 - 1 → R = 0,12675   m

Passo 2

Agora podemos encontrar a excentricidade e da seção, que é a distância entre a linha neutra e o centroide da seção, através de:

e = r - - R

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

e = 0,13 - 0,12675 → e = 3,2483 . 10 - 3   m

Agora podemos encontrar o momento resultante da força P aplicada na seção. Através da figura, é possível ver que o braço de alavanca do momento será a distância r - , já que P está sendo aplicada sob o centroide C. Então podemos escrever:

M = P r -

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

M = 10000 0,13 → M = 1300   N . m

Passo 3

Agora para encontrar a tensão no ponto A pedida na letra (a), vamos utilizar a equação 4.71 vista nessa seção, onde temos:

σ = M r - R A e r

Lembrando que no nosso caso, temos ainda a força P que estará exercendo compressão no ponto A, então devemos somar a parcela da tensão gerada pelo momento M. Dessa forma, para o ponto A, a equação acima se torna:

σ A = M r A - R A e r A - P A

Substituindo os valores conhecidos, temos:

σ A = 1300 0,1 - 0,12675 3,6.10 - 3 3,2483.10 - 3 0,1 - 10000 3,6.10 - 3

σ A = - 32,51   M P a

Passo 4

Agora para a letra (b), vamos repetir os cálculos do passo 3, só que com r B = 190   m m , então teremos:

σ B = M r B - R A e r B - P A

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

σ B = 1300 0,1 9 - 0,12675 3,6.10 - 3 3,2483.10 - 3 0,1 9 - 10000 3,6.10 - 3

σ B = 34,23   M P a

Resposta

a :   σ A = - 32,51   M P a

b :   σ B = 34,23   M P a

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