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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 125

Um satélite de 2500 kg tem 2,4 de altura e bases octogonais com lados de 1,2 m. Os eixos de coordenadas mostrados são os principais eixos centróides de inércia do satélite, e seus raios de giração são k x = k z = 0,90 m  and  k v = 0.98 m . O satélite está equipado com um propulsor principal 500-N E e quatro propulsores 20-N A, B, C e D, que podem expelir combustível na direção y positiva. O satélite está girando a uma taxa de 36 rev / h em torno de seu eixo de simetria G y , que mantém uma direção fixa no espaço, quando os propulsores A e B são ativados por 2 s. Determine (a) o eixo de precessão do satélite, (b) sua taxa de precessão, (c) sua taxa de giro.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine (a) o eixo de precessão do satélite, (b) sua taxa de precessão, (c) sua taxa de giro.

ω 0 = ( 36 r e v / h ) 2 π r a d r e v 1 h 3600 s = 0.062832 r a d / s

m = 2500 k g

I x = m k x 2 = ( 2500 ) ( 0.90 ) 2 = 2025 k g ⋅ m 2 I z = I x = 2025 k g ⋅ m 2 I y = m k y 2 = ( 2500 ) ( 0.98 ) 2 = 2401 k g ⋅ m 2

H G 0 = l y ω 0 j = ( 2401 ) ( 0.062832 ) j = 150.86 k g ⋅ m 2 / s

a = 0.6 m , b = 0.6 + 1.2 c o s ⁡ 45 ∘ = 1.4485

Quando propulsores A e B são ativados

M G = - b F A + F B i

= - ( 1.4485 ) ( 40 ) i = - ( 57.941 N ⋅ m ) i

Passo 2

Momento angular depois de 2s

H G = H G 0 + M G ( Δ t )

= 150.86 j + ( - 57.941 ) ( 2 ) i = - 115.88 k g ⋅ m 2 / s i + 150.86 k g ⋅ m 2 / s j

ω x = H x I x = - 115.88 2025 = - 0.057225 r a d / s = - 32.788 r e v / h ω y = H y I y = 36 r e v / h ω z = H z I z = 0

Passo 3

(a) eixo de precessão

t a n ⁡ θ = - H x H y = 115.88 150.86 θ = 37.529 ∘

θ x = 52.5 ∘ , θ y = 37.5 ∘ , θ z = 90 ∘

t a n ⁡ γ = - ω x ω y = 32.788 36

γ = 42.327 ∘

γ - θ = 4.798 ∘

ω = ω x 2 + ω y 2 = 48.693 r e v / h

Passo 4

Lei dos senos

φ ˙ sin ⁡ γ = ψ ˙ s i n ⁡ ( γ - θ ) = ω sin ⁡ θ

(b) φ ˙ = 48.693 s i n ⁡ 42.327 ∘ sin ⁡ 37.529 ∘

φ ˙ = 53.8 r e v / h

(c) ψ ˙ = 48.693 s i n ⁡ 4.798 ∘ sin ⁡ 37.529 ∘

ψ ˙ = 6.68 r e v / h

Resposta

a θ x = 52.5 ∘ , θ y = 37.5 ∘ , θ z = 90 ∘

(b) φ ˙ = 53.8 r e v / h

(c) ψ ˙ = 6.68 r e v / h

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