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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 140

(a) Aplicando o princípio de conservação de energia, deduza uma terceira equação diferencial para o movimento geral do topo do Problema 18.139.

(b) Eliminando as derivadas ϕ ˙  e  ψ ˙ da equação obtida e das duas equações do Problema 18.139, mostre que a taxa de natação θ ˙ é definida pela equação diferencial θ ˙ 2 = f ( θ ) , onde

f ( θ ) = 1 I ' 2 E - β 2 I - 2 m g c c o s ⁡ θ - α - β c o s ⁡ θ I ' s i n ⁡ θ 2

(c) Mostre ainda, ao introduzir a variável auxiliar x = c o s ⁡ θ , que os valores máximo e mínimo de θ podem ser obtidos resolvendo para x a equação cúbica

2 E - β 2 l - 2 m g c x 1 - x 2 - 1 I ' ( α - β x ) 2 = 0

Passo 1

E ai pessoal tudo certinho? O enunciado pede que a gente deduza uma terceira equação diferencial para o movimento geral do topo do Problema 18.139.

(a) velocidade angular no topo

ω = - φ ˙ s i n ⁡ θ i + θ ˙ j + ( ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ ) k

Energia cinética

T = 1 2 I x ω x 2 + 1 2 I y ω y 2 + 1 2 I 2 ω 2 2 = 1 2 I ' ( φ ˙ s i n ⁡ θ ) 2 + 1 2 I ' θ ˙ 2 + 1 2 I z ω z 2

Energia potencial

V = m g c c o s ⁡ θ

Princípio de conservação e de energia

T + V = E

1 2 I ' ( φ ˙ s i n ⁡ θ ) 2 + 1 2 I ' θ ˙ 2 + 1 2 I ω z 2 + m g c c o s ⁡ θ = E

Passo 2

(b) Resolvendo para θ ˙ 2

θ ˙ 2 = 1 I ' 2 E - I z ω z 2 - 2 m g c c o s ⁡ θ - ( φ ˙ s i n ⁡ θ ) 2 (A)

Equação (2) para problema 18.135, com ω z = ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ dá

I z ω z 2 = β 2 I (B)

Equação (1) para problema 18.136 dá

I ' φ ˙ s i n 2 ⁡ θ + β c o s ⁡ θ = α (c)

φ ˙ = α - β c o s ⁡ θ I ' s i n 2 ⁡ θ (D)

Substituindo equações B e D em A

θ ˙ 2 = f ( θ )

Em que f ( θ ) = 1 I ' 2 E - β 2 1 - 2 m g c c o s ⁡ θ - α - β c o s ⁡ θ I ' s i n ⁡ θ 2 (1)

Passo 3

(c)Os valores máximo e mínimo de θ ocorrem quando f ( θ ) = 0 . Definindo c o s ⁡ θ = x  e  s i n 2 ⁡ θ = 1 - x 2 na Equação (1), e deixando f ( θ ) = 0 resulta

I I ' 2 E - β 2 l + 2 m g c x - ( α - β x ) 2 ( I ) 2 1 - x 2 = 0

Multiplicando por I ' 1 - x 2 dá a equação cúbica F ( x ) = 0 :

2 E - β 2 I - 2 m g c x 1 - x 2 - 1 I ' ( α - β x ) 2 = 0 (2)

Resolver esta equação resultará em três valores de x. Os dois valores situados entre -1 e +1 correspondem aos valores máximo e mínimo de θ .

Resposta

a   1 2 I ' ( φ ˙ s i n ⁡ θ ) 2 + 1 2 I ' θ ˙ 2 + 1 2 I ω z 2 + m g c c o s ⁡ θ = E

(b) f ( θ ) = l I ' 2 E - β 2 I - 2 m g c c o s ⁡ θ - α - β c o s ⁡ θ I ' s i n ⁡ θ 2

(c) 2 E - β 2 I - 2 m g c x 1 - x 2 - 1 I ' ( α - β x ) 2 = 0

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