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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 83

Um satélite é colocado em uma órbita circular em torno do planeta Saturno a uma altitude de 2100 milhas. O satélite descreve sua órbita com uma velocidade de 54,7x10³ mi / h. Sabendo que o raio da órbita de Saturno e o tempo periódico do atlas, uma das luas de Saturno, são 85,54x10³ mi e 0,6017 dias, respectivamente, determine (a) o raio de Saturno e (b) a massa de Saturno. (O tempo periódico de um satélite é o tempo necessário para completar uma revolução completa em torno do planeta.)

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? O enunciado perde que a gente determine (a) o raio de Saturno e (b) a massa de Saturno, vamos lá então :D

Temos que a velocidade é dada por. v A = 2 π r A τ A

Onde v A = 85.54   × 10 3 m i

E τ A = 0 , 6017   d i a s = 51,987   s

Passo 2

Agora substituindo os valores na equação da velocidade temos...

v A = ( 2 π ) ( 451.651   × 10 6 ) 51,987 = 54.587   × 10 3   m / s

Força Gravitacional F = G M m r 2 = m v 2 r

Do qual G M = r v 2 = c o n s t a n t e

Para o satélite, r s   v s 2 =   r A   v A 2

r s = r A     v A 2 v s 2

Onde v s = 54.7 × 10 3 m i / h = 80.267 × 10 3 f t / s  

r s   = ( 451.651 × 10 6   ) ( 54.587 × 10 3 ) ² ( 80.267 × 10 3 ) ² = 208.885 × 10 6   m

Transformando para milhas temos...

r s = 39,600   m i

Passo 3

Ufaaa!!! Agora sim podemos determinar o que o enunciado pede :D

  1. Raio de Saturno:

    2. R = r s - a l t i t u d e = 39,600 - 2100 = 37,500   m i

  2. Massa de Saturno:

M = r A   v A 2 G = 451.651 × 10 6 ) ( 54.587 × 10 3 ) ² 34.4 × 10 - 9 = 39.1 × 10 24   k g

Resposta

A )     R = 37,500   m i

B )   M = 39.1 × 10 24   k g

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