Enunciado

Um satélite descreve uma órbita elíptica em torno de um planeta. Representando por r0 e r1 as distâncias correspondentes, respectivamente, ao perigeu e ao apogeu da órbita, mostre que a curvatura da órbita em cada um desses pontos pode ser expressa como

  1 ρ = 1 2   1 r 0 + 1 r 1

Passo 1

Bem-vindo a mais uma questão de resmat que nos pede mostre que a curvatura da órbita em cada um desses pontos pode ser expressa como demonstrado no enunciado, então partiu !

Usando Eq.(12.39) do livro temos:

1 r A = G M h 2 1 + ε   c o s θ

e

1 r B = G M h 2 + C   c o s θ B

mas

θ B = θ A + 180 ° ,

para isso

c o s θ A = - c o s θ B

Adicionando,

1 r A + 1 r B = 2 G M h 2

Passo 2

Nos Pontos A e B, a direção radial é normal ao caminho.

a n = v 2 ρ + h 2 r ² ρ

mas

F n = G M m r ² = m a n = m h 2 r ² ρ

1 ρ = G M h 2 = 1 2 1 r A + 1 r B

Resposta

1 ρ = 1 2 1 r 0 + 1 r 1

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