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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 127

Um satélite geoestacionário de 800 libras está girando com uma velocidade angular ω 0 = ( 1.5 r a d / s ) j quando é atingido em B por um meteorito de 6 onças viajando com uma velocidade v 0 = - ( 1600 f t / s ) i + ( 1300 f v s ) j + ( 4000 f t / s ) k em relação ao satélite. Sabendo que b = 20 i n e que os raios de giro do satélite são k r = k r = 28.8 i n ,  e  k v = 32.4 i n . , Determine o eixo de precessão e as taxas de precessão e rotação do satélite após o impacto

Passo 1

O exercício pede que a gente determine o eixo de precessão e as taxas de precessão e rotação do satélite após o impacto

Massa do satélite

m = W g = 800 32.2 = 24.845 l b ⋅ s 2 / f t

Principal momento de Inércia

I - x = m k x 2 = ( 24.845 ) 28.8 12 2 = 143.106 l b ⋅ s 2 ⋅ f t I - y = m k y 2 = ( 24.845 ) 32.4 12 2 = 181.118 l b ⋅ s 2 ⋅ f t I - z = I - x = 143.106 l b ⋅ s 2 ⋅ f t

Massa do meteorito

m ' = 6 ( 16 ) ( 32.2 ) = 0.011649 l b ⋅ s 2 / f t

Momento inicial do meteorito

m ' v 0 = ( 0.011649 ) ( - 1600 i + 1300 j + 4000 k ) = - ( 18.63316 ⋅ s ) i + ( 15.140 + b ⋅ s ) j + ( 46.584 ( b ⋅ s ) k

Passo 2

Suponha que a posição do centro de massa do satélite mais o meteorito seja essencialmente a do satélite sozinho.

Posição do ponto B relativo ao centro de massa

r B / G = 42 12 i - 20 12 j

= ( 3.5 f t ) i - ( 1.66667 f t ) j

Velocidade angular do satélite antes do impacto

ω 0 = ( 1.5 r a d / s ) j ω 0 x = ω 0 2 = 0 , ω 0 y = 1.5 r a d / s

Momento angular do sistema satélite- meteorito antes do impacto

H G 0 = I - y ω i j + r B / G × m ' v 0

= ( 181.118 ) ( 1.5 ) j + i j k 3.5 - 1.66667 0 - 18.633 15.140 46.584

= - ( 77.641 b ⋅ s ⋅ f t ) i + ( 108.637 ∥ ⋅ s ⋅ f t ) j + ( 21.935 l b ⋅ s ⋅ f t ) k

Princípio do Impulso Momento do sistema satélite-meteorito. Momento sobre G

H G 1 = H G 0 = H G

Velocidade angular imediatamente depois do impacto

ω = ω x i + ω y j + ω z → k

Negligencie a massa do meteorito

H G = I → x ω x i + I → y ω y j + I - z ω z k

ω x = H G x I - x = - 77.64 143.106 = - 0.54253 r a d / s ω y = H G y I y = 108.637 181.118 = 0.59981 r a d / s ω 2 = H G z I - 2 = 21.934 143.106 = 0.15327 r a d / s ω = - ( 0.54253 r a d / s ) i + ( 0.59981 r a d / s ) j + ( 0.15327 r a d / s ) k ω = ( 0.54253 ) 2 + ( 0.59981 ) 2 + ( 0.15327 ) 2 = 0.82317 r a d / s H G = ( 77.64 ) 2 + ( 108.637 ) 2 + ( 21.935 ) 2 = 135.319 l b ⋅ s ⋅ f t

Movimento após impacto. Como os momentos de inércia I - x  e  l - z são iguais, o corpo se move como um corpo axissimétrico com seus eixos como o eixo de simetria.

Movimento de inércia sobre eixo simétrico I = I → y ' = 181.1181 b ⋅ s 2 ⋅ f t

Movimento de inércia sobre eixo transversal através de G I ' = I ~ x = I - z = 143.106 l b ⋅ s 2 ⋅ f t

O movimento é uma cabine de precessão constante ϕ ˙ em torno do eixo de precessão junto com uma rotação constante ψ ˙ em torno do eixo de rotação ou simetria. Uma vez que I > I ' a precessão é retrógrada.

Passo 3

Eixo de precessão. O eixo de precessão é direcionado ao longo do vetor momento angular H G , que permanece fixo. Imediatamente após o impacto, seus cossenos de direção em relação aos eixos do corpo x, y, z são:

c o s ⁡ θ x = H G x H G = - 77.64 135.319 = - 0.57376                                     θ x = 125.0 ∘ c o s ⁡ θ y = H G y H G ≈ 108.637 135.319 = 0.80282                                             θ y = 36.6 ∘ c o s ⁡ θ 2 = H G z H G = 21.935 135.319 = 0.16210                                               θ z = 80.7 ∘

O ângulo θ entre o eixo de rotação (eixo y) e o de precessão continua constante

θ = θ y = 36.600 ∘

O ângulo γ entre o vetor velocidade angular e o eixo de rotação (eixo y) é

c o s ⁡ γ = ω y ω = 0.59981 0.82317 γ = 43.226 ∘

o angulo γ também pode ser calculado por

t a n ⁡ γ = I I ' t a n ⁡ β = 181.118 143.106 t a n ⁡ 36.600 ∘

O ângulo entre o eixo de precessão e o vetor velocidade angular é

y - θ = 6.626 ∘

Passo 4

Taxas de precessão e giro

Configure o triângulo de adição de vetor para os componentes de velocidade angular. Aplique a lei dos senos.

ω sin ⁡ θ = ψ ˙ s i n ⁡ ( γ - θ ) = φ ˙ sin ⁡ γ

0.82317 sin ⁡ 36.600 ∘ = ψ ˙ sin ⁡ 6.626 ∘ = φ ˙ sin ⁡ 43.226 ∘

Taxa de precessão φ ˙ = 0.946 r a d / s

Taxa de giro ψ ˙ = 0.1593 r a d / s

Uma vez que γ > θ , precessão é retrógrada

Resposta

Taxa de precessão φ ˙ = 0.946 r a d / s

Taxa de giro ψ ˙ = 0.1593 r a d / s

Uma vez que γ > θ , precessão é retrógrada

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