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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 118

O satélite está em uma órbita elíptica em torno da Terra, como mostrado. Determine a sua velocidade vetorial no perigeu P e apogeu A , e o período do satélite.

Passo 1

Suponha que o raio da Terra é 6378 km;

A massa da Terra é de M e = 5,976(1024) kg;

A massa do Sol é de M s = 1 ,99(1030) kg;

A constante gravitacional é de G = 66,73 10 - 12   m 3 / ( k g   s 2 ) .

Raio da Terra: r T = 6378   k m

O enunciado nos informa que a trajetória é eliptica e pede para determinarmos a velocidade vetorial do satélite no perigeu P e apogeu A , e seu período.

A distância mínima da órbita até o centro da Terra é chamada de perigeu da órbita ( r P ).

A distância máxima da órbita até o centro da Terra é chamada de apogeu ( r a ).

O período T é o tempo necessário para fazer uma revolução orbital.

Passo 2

Através da figura do enunciado, vemos que

r p = 2 10 6 + 6378 10 3 = 8,378 10 6   m

r a = 8 10 6 + 6378 10 3 = 14,378 10 6   m

Para uma órbita elíptica,

r P = r 0

r a = r 0 2 G M e r 0 v 0 2 - 1

Substituindo os valore de r P e r a nesta última equação, podemos encontrar o valor de v 0 .

14378 10 6 = 8378 10 6 2 66,73 10 - 12 5,976 10 24 8,378 10 6 v 0 2 - 1

v 0 = 7755,53 m s = 7,76   k m / s

Sabemos que v 0 é a velocidade em r 0 , portanto, v 0 = v P .

Passo 3

Agora, podemos encontrar o valor da constante h que é dada pela seguinte fórmula:

h = r v

Como esse valor é constante, temos que

h = r p v p = r a v a

Portanto, utilizando o resultado encontrado de v p e de r P ,

h = 8,378 10 6 7755,53 = 14,378 10 6 v a

v A = v a = 4519,12   m / s = 4,52   k m / h

h = r p v p = 8,378 10 6 7755,53 = 64,976 10 9   m 2 / s

onde v A é a velocidade no ponto A que é igual à velocidade no apogeu, v a .

Passo 4

Substituindo os resultados encontrados na fórmula do período T a seguir

T = π h r p + r a r p r a

Obtemos,

T = π 64,976 ( 10 9 ) [ 8,378 10 6 + 14,378 10 6 ] 8,378 ( 10 6 ) ( 14,378 ) ( 10 6 )

T = 12075,71   s = 3,35   h

Resposta

T = 3,35   h

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