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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 37

Um eixo circular maciço de transmissão, de 1,5 m de comprimento, está sujeito a um torque de 12Kn.m. Determinar o diâmetro necessário do eixo, sabendo-se que o ângulo de torção não deve exceder a 1,5 ° que o eixo é feito de: (a) um aço com G = 77   M P a e τ A d m = 80   M P a ; (b) um bronze com G = 42   G P a e τ A D m = 30   M P a .

Passo 1

Cara, fala aí! Então, aqui temos um eixo de transmissão que sofre um torque. Mas ele tem uma tensão máxima e um ângulo de torção máximo. O que a questão pede é qual é o diâmetro necessário para esse eixo, sem ultrapassar esses valores máximos.

Mas repara que temos o item (a) e o item (b), cada um com um tipo de material.

Temos dois critérios para achar esse cara, então para cada caso, a gente vai achar dois diâmetros e vai ficar com o maior para cada material(já que é uma dimensão da peça necessária para atender ao dois critérios ao mesmo tempo).

Se está falando de torção e ângulo máximo, vamos colocar as fórmulinhas dessas grandezas aqui já:

τ m á x = T c J

Onde T é o torque e c é o raio do nosso eixo. E J é:

J = π 2 c 4

E para o ângulo máximo, temos:

ϕ m á x = T L G J

Onde L é o comprimento do nosso eixo e G   é dado para cada material.

Com essas coisinhas em mãos, é só partir para o abraço. Bora!

Obs: no enunciado temos um errinho, a unidade de G para o aço é G P a e não M P a .

Passo 2

(a) Para esse item, nossos dados são

L = 1,5   m

T = 12000   N ⋅ m

ϕ m á x = 1,5 ° = 1,5 ° π 180 = 0,02617   r a d

τ a d m = τ m á x = 80 ⋅ 10 6 P a

G = 77 ⋅ 10 6   P a

Vamos achar d pela fórmula da tensão máxima:

τ m á x = T c J → τ m á x = T c π 2 c 4 → c = 2 T π τ m á x 3 → c = 2 ( 12000   ) π 80 10 6 3 = 0,045   m

d = 2 c = 0,09   m

Agora pelo ângulo máximo.

ϕ m á x = T L G J → ϕ m á x = T L G π 2 c 4 → c = T L G π 2 ϕ m á x 1 4 → c = 12000 ( 1.5 ) 77 ( 10 9 ) π 2 0.02617 1 4 = 0,049   m

d = 2 c = 0,098   m

Podemos escolher o maior e arredontar para cima:

d = 0,1   m = 100   m m

Passo 3

(b)Para esse item, nossos dados são

L = 1,5   m

T = 12000   N ⋅ m

ϕ m á x = 1,5 ° = 1,5 ° π 180 = 0,02617   r a d

τ a d m = τ m á x = 30 ⋅ 10 6 P a

G = 42 ⋅ 10 6   P a

Vamos achar d pela fórmula da tensão máxima:

τ m á x = T c J → τ m á x = T c π 2 c 4 → c = 2 T π τ m á x 3 → c = 2 ( 12000   ) π 30 10 6 3 = 0,064   m

d = 2 c = 0,128   m

Agora pelo ângulo máximo.

ϕ m á x = T L G J → ϕ m á x = T L G π 2 c 4 → c = T L G π 2 ϕ m á x 1 4 → c = 12000 ( 1.5 ) 42 ( 10 9 ) π 2 0.02617 1 4 = 0,057   m

d = 2 c = 0,114   m

Podemos escolher o maior e arredontar para cima:

d = 0,130   m = 130   m m

Resposta

a d = 100   m m

b d = 130   m m

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