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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 135

Solucione o Problema, considerando que o coeficiente de amortecimento do amortecedor é de c 300 N s/m.

Passo 1

E aí gurizada tudo belezinha??? Partiu mais uma questão de resmat :D

Velocidade do bloco A logo antes do impacto:

v A = 2   g h = 2 ( 9.81 ) ( 0.8 ) = 3.962   m / s

Velocidade dos blocos A e B imediatamente após o impacto.

Conservação do momento

m A v A + m B v B = ( m A + m B ) v ´

4 3.962 + 0 = 4 + 9 v ´

v ´ = 1.219   m / s

x ˙ 0 = + 1.219   m / s ↓ = x ˙ 0

Passo 2

Bloco de deflexão estática A:

x 0 = - m A g k = - 4 9.82 1500 = - 0.02619   m

x = 0 , posição equivalente para ambos os blocos.

c c = 2   k m = 2   ( 1500 ) ( 13 ) = 279.3   N ∙ s / m

Desde c > c c , o sistema está fortemente amortecido,

x = c 1 e λ 1 t + c 2 e λ 2 t

λ = - c 2   m ± c 2   m 2 - k m = - 300 263   ± 300 26 2 - 1500 13

= - 11.538 ± 4.213

λ 1 = - 15.751   s - 1

λ 2 = - 7.325   s - 1

x = c 1 e - 15.751   t - c 2 e - 7.325   t

x ˙ = - 15.751 c 1 e - 11.751   t - 7.325   c 2 e - 7.325   t

Passo 3

Condições iniciais: x 0 = - 0.02619   m

x 0 = 1.219   m / s

Então, - 0.02619 = - 15.751 c 1 - 7.325 c 2

Resolvendo as equações simultâneas, c 1 = - 0.1219   m

c 2 = 0.09571   m

Então, x = - 0.1219   e - 15.751   t + 0.09571 e - 7.325   t             m

x ˙ = - 15.751 - 0.1219 e - 15.751   t - ( 7.325 ) ( 0.09571 ) e - 7.325   t

= 1.92 e - 15.751   t - 0.70108 e - 7.325   t

Passo 4

O valor máximo de x ocorre quando x ˙ = 0 .

0 = 1.92 e - 15.751   t m - 0.70108 e - 7.325   t m

1.92 e - 15.751   t m = 0.70108 e - 7.325   t m

1.92 0.70108 = e ( 15.751 - 7.325   ) t m

2.7386 = e 8.426   t m

8.426   t m = I n   ( 2.7386 )

t m = 0.11956   s

x m = - 0.1219 e - 15.751 0.11956 + 0.09571 e - 7.325 0.11956

= - 0.018542 + 0.039867

= 0.02132     m

Deflexão total = Deflexão + x m .

= 0.02619 + 0.0232 = 0.04751   m

Resposta

D e f l e x ã o   t o t a l = 47.5   m m

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