Substituia a força P agindo na conexão do Prob. 7/17 por um binário M . Determine o momento M do binário necessário para manter o equilíbrio em uma posição arbitrária caracterizada pelo ângulo θ . O momento M depende do número n de seções existentes?

Passo 1

Substituindo a força do Prob. 7/17 por um momento, temos a seguinte configuração:

Utilizando o Princípio do Trabalho Virtual, se o sistema está em equilíbrio o trabalho virtual δ U total realizado pelas forças externas ativas para um deslocamento pequeno do sistema deve ser zero:

δ U = 0

Os nossos agentes externos ativos (que realizam trabalho em um deslocamento do sistema) são os pesos m g das barras e o momento M atuando no ponto C . A força em A não pode realizar trabalho, pois esse ponto não se move. A força em B também não, pois a força é horizontal e o deslocamento nesse apoio só pode ser vertical. Então devemos relacionar o trabalho infinitesimal causado pelos pesos e pelo momento com θ , e então igualar o trabalho total a zero.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o trabalho virtual δ U 1 causado pelo peso das 2 n barras. Para uma variação δ y da distância vertical dos centros das barras em relação ao ponto A , temos:

δ U 1 = 2 n   m g   δ y

A altura y dos centros das barras em relação a A é dada por:

y = b cos ⁡ θ 2

Então para um deslocamento δ y , temos, por derivação:

δ y = - b 2 sen ⁡ θ 2 δ θ

Então o momento realizado pelos 2 n pesos é dado por:

δ U 1 = 2 n   m g   - b 2 sen ⁡ θ 2 δ θ = - n   m g b sen ⁡ θ 2 δ θ

O sinal negativo faz sentido, pois se θ aumentar os centros irão subir, e como a força peso é para baixo o trabalho é negativo.

Passo 3

Agora calculamos o trabalho virtual δ U 2 causado pelo momento. Para um aumento δ θ cada barra irá girar um ângulo de δ θ / 2 no sentido anti-horário, mesmo sentido do momento. Então, temos o trabalho na barra que contém o ponto C :

δ U 2 = M δ θ 2

Passo 4

Então aplicamos o Princípio do Trabalho virtual:

δ U = δ U 1 + δ U 2 = 0

⇒ - n   m g b sen ⁡ θ 2 δ θ + M δ θ 2 = 0

⇒ M δ θ 2 = n   m g b sen ⁡ θ 2 δ θ

Cortamos δ θ :

M 2 = n   m g b sen ⁡ θ 2

⇒ M = 2 n   m g b sen ⁡ θ 2

Podemos ver que o valor do momento depende do número n .

Resposta

M = 2 n   m g b sen ⁡ θ 2   ( d e p e n d e   d e   n )

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